Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
[Vi, Vj-I = LijVft. (2.43)
Мы увидим, что это условие также достаточно. Для любой точки X0 и для (t1, t2, . . ., tK) 6 Ек, достаточно близкой к началу координат, мы можем определить
ст (t1, t2, ... ,tK) = CtKvK о ... о e««vi о etlvix0, (2.44)
что дает нам параметризированный элемент поверхности, проходящий через Xo- Согласно этой формуле, поверхность получают, перемещая X0 = ст° вдоль кривой ст1, касательной к V1, затем смещая каждую точку этой кривой вдоль траекторий поля V2 и тем самым образуя 2-по-верхность ст2, затем полученную поверхность перемещая вдоль траекторий поля v3, что дает ст3, и т. д. Таким образом, мы определяем Op как р-мерную поверхность ст (i1, t2, . . ., tp, 0, 0, . . ., 0). Из уравнения (2.44) имеем
' -Vp на ст», (2.45)
где векторы d/dt1, на которые натянуто T (CTif), определены в каждой точке ак соответствием
-A-:/-^/(^1, t\...,tK)) (2.46)
и поэтому удовлетворяют условию Idldti, d/dt3] = 0. Мы докажем, что все v, касательны к стк, методом индукции. Так как Xo = ст° с ст1 с ст2 ... czaK, то в силу (2.45) на о0 имеем V1- = dldt1 для і = 1,2, . , ,, К; таким образом, все Vi касательны к ак на (7°. 218
Статья 7. Ч. M и г н е р
ЛЕММА. Если все Vi касательны к ак в каждой точке Op-1, то они также касательны к ак на стр.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
XpMi = LhplMk, (2.47)
где
Хри = [VpU]. (2.48)
Рассматриваемые как уравнения, которые должны выполняться вдоль кривых в ор, касательных к vp, эти уравнения хорошо определены в пределах многообразия ак и могли бы быть записаны через координаты tl [см. уравнения (2.42)]. Таким образом, решения Ui будут касательными к ок, если мы выберем в качестве начальных
условий В ^ =O (Т. Є. На op-1) Значения Ui = (Yi)iP^0,
которые по исходному предположению касательны к ак. Кроме этого решения Ui, которое является касательным к ак на ор, существует в силу (2.43) другое решение u, = = Vi. Поскольку И то и другое решения имеют одинаковые начальные условия, они совпадают при всех значениях tp, доказывая тем самым, что все Vi касательны к ак на ор. Это завершает доказательство локальной формулировки теоремы Фробениуса.
ТЕОРЕМА. Пусть Vk : х -»- Vk (х) — дифференцируемое поле, ставящее в соответствие каждой точке х ? M некоторое A-мерное подпространство Vk (х) пространства T (х) и обладающее тем свойством, что для любой пары векторных полей и, V на Vk поле [u, v] также принадлежит Vk. Тогда для любой точки х0 Є M существует проходящее через нее единственное максимально связное подмногообразие N, касательное пространство которого в каждой точке х Є N есть Vk (х).
В нашем доказательстве Vk представлено локально множеством V1, V2, .. Yk дифференцируемых векторных полей, на которые натянуто VK. Но любой другой базис в Vk также удовлетворял бы условию интегрируемости (2.43), которое является, таким образом, свойством самого Vk. Полуглобальные аспекты зтой теоремы, устанавливающие, что элементы поверхности ти- Дифференциальная геометрия и топология
219
па (2.44) могут быть склеены, образуя многообразие N, продолжающееся так далеко от х0, как это возможно, Аусландер и Маккензи рассматривают в § 8-8 своей книги [2]. Это рассмотрение существенно опирается на единственность ядер поверхностных элементов, касательных к Vk, которая в свою очередь следует из того факта, что любой такой элемент может быть в подходящей координатной системе tl представлен уравнениями tK+1 = tK+2= . . .= tn = 0. Это последнее вытекает из доказательства, проведенного выше, ибо мы можем, определив поля Vk+!, vk+2, ••» v„, дополнить совокупность полей V1, V2, . . ., Vk так, чтобы получить базис в t (x) для точки x, находящейся в некоторой окрестности U точки Xf). Затем определим координатную систему & соотношениями
ф (t\ t\ tn) = (еКук о ... о C11V1) О e'nv„
... с е'киук+1х0. (2.49)
Предыдущая конструкция, используемая вместе с элементом ф (0, . . ., 0, tK+1, . . ., tn), заменяющим исходную точку хо, показывает, что каждая поверхность tK+1 = = kK+1, . . ., tn = kn щщ .{малых) лоасянных № каса-тельна к Vk, так что для каждого вектора v из Vk в этой координатной окрестности справедливо соотношение VK+1 = VK + 2= . . .= Vn = 0.
Теперь предположим, что хк есть элемент другой поверхности, проходящей через точку х0, с касательным пространством VK. В достаточно малой окрестности точки Xo каждая- точка х на хк может быть связана с хо кривой, лежащей в хк f) V, скажем кривой tl (X). Касательная (ItiIdX к этой кривой лежит в Vk, так что dtl IdX = = 0 и Є (X) = M для і = К + 1, . . ., п. Но tl (0) = 0 и, таким образом, к1 = 0, откуда ясно, что каждая подобная точка x элемента хК лежит также и на ак.
ПРИМЕР. Векторные поля V; = iLj (J = 1, 2, 3), определенные на E3 уравнениями (2.28), удовлетворяют соотношениям
Lv., Vyl= -BiJllVh 220
Статья 7. Ч. M и г н е р
и поэтому определяют интегрируемое касательное поле. Это поле двумерно, ибо V; линейно зависимы:
XtVi = O.
Мы можем легко найти интегральное подмногообразие, определяемое полем 2-ПЛОСКОСТЄЙ F2, порождаемых Vi, поскольку, скажем, V3 можно понимать как оператор, соответствующий бесконечно малым поворотам вокруг оси z. Тогда операторы Vi определяют все возможные повороты, начинающиеся из точки Zo, и будут перемещать хо по сфере {ж J I а; I = | жо |}- Легко убедиться, что Vi каса" тельны к каждой поверхности вида
