Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваненко Д. -> "Гравитация и топология" -> 70

Гравитация и топология - Иваненко Д.

Иваненко Д. Гравитация и топология — М.: Мир, 1966. — 310 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaitopologiya1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 97 >> Следующая


(3.17)

(<P*v=c) [/1

Vx [ф */]

Для завершения доказательства коммутативности (3.17) диаграммы (3.16) достаточно теперь сказать, что d есть Дифференциальная геометрия и топология

225

естественное отображение (это модный сейчас способ высказать тот факт, что градиент есть тензорный оператор).

ПОЛЯ. Ковариантное векторное поле есть отображение ст : X ох ? T1 (х). Если для каждого касательного векторного поля у ? J1 (M) функция (ст , v): х ->- (стж, ух) дифференцируема, то говорят, что поле ст дифференцируемо: ст ? ^L1 (M). Таким образом, поле ст дифференцируемо в окрестности UcM тогда и только тогда, когда в некотором базисе ег пространства З1 (U) (таком, например, как д/дх1) компоненты Oi — (ст, Єі) являются дифференцируемыми функциями. Можно также определить тензорный пучок S1 (M), элементами которого являются ковариантные векторы Ox в точках х ? М. Тогда (M) есть множество дифференциальных сечений пучка JT1(M). Ясно, что с^дает линейное отображение jF (M) -*¦ ZD1(M).

Тензоры

Взяв два ковариантных вектора а, ? g T1 (х), мы можем определить билинейную функцию а ® ? на парах касательных векторов (u, v) в точке X правилом

(a®?)(u, V) = {а, u)(?, V). (3.18)

Множество T2 (х) = T1 (х) (g) Ti (х) всех билинейных функций, построенных из пар касательных векторов в точке X, можно получить, образовывая линейные комбинации простых произведений типа а 0 ?; это множество называется множеством ковариантных тензоров второй валентности (или ранга) в точке х. Так как зти тензоры можно складывать друг с другом и умножать на действительные числа, то T2 (х) является векторным пространством (размерности п2) над полем действительных чисел R. Базис, состоящий из всех произведений вида получается соответственно выбранному базису Єі в T1 (х). Разложение какого-либо тензора T ? T2 (х) по этому базису

T = TijOii ®й>} (3.19)

определяет компоненты Tij тензора Т. Рассматривая мультилинейные функции касательных векторов, полу-

15 Заказ M 28 226

Статья 7. Ч. M и г н е р

чаем ковариантные векторы любого ранга, и разложение S = Shi2.. ЛрФ ® W^ ® ... ® CiiP (3.20)

позволяет получить компоненты Si1..,ір ковариантного тензора S^Tp (X) валентности р

S : (v1; v2, .. ., Ур)х —S (V1, v2, . .., Vp) Є R-

Мультилинейные функции р ковариантных векторных аргументов порождают контравариантные тензоры Tp (х) валентности р; например,

V О и: (а, ?)->(a, v)(?, и> (3.21)

есть элемент T2 (х). Смешанные тензоры, скажем R?T\ (х), с компонентным представлением

R = R^ei ^ Qj ^cah (3.22)

также являются мультилинейными функционалами R:(а, р, а, ?, v) =

= RU(а, ег) (?, е}) (со", V) = RUa$jvh. (3.23)

Значение R (а, ?,v) функционала R от а, ?, v есть действительное число, называемое сверткойІ- тензора R с векторами а, ?, v. Когда векторы, используемые в качестве аргументов тензора, имеют достаточно простые наименования, аргументы часто обозначают просто индексами, например

R (а> ?, v) = Ry^;' (3.24)

в более распространенной записи

я К еА) = я? (3.25)

или

Ridyi', dyr, Ъ^) =RiJ. (3.26)

Множество дифференцируемых р раз контравариантных и q раз ковариантных тензорных полей 3q (M) определяется очевидным образом и состоит из всех дифференцируемых сечений соответствующего тензорного пучка Дифференциальная геометрия и топология

227

Компоненты Rh тензора R образуются свертыванием R с подходящим образом выбранными базисными векторами. Поэтому они являются действительными числами (или функциями, когда речь идет о тензорных полях). Вопрос, следует ли считать скаляром (скалярной функцией) каждую компоненту Rl3, является довольно деликатным; ответ на него в большой мере зависит от субъективного предпочтения того или иного набора базисных векторов. Когда дело связано с особо предпочтительными (например, определенными глобально) базисными векторными полями, имеющими уникальные и ценные свойства, тогда скалярная терминология могла бы показаться'привле-кательной (хотя она и не принята в теории групп Ли, где всегда используются глобально определенные, трансля-ционно инвариантные базисы). Однако эта терминология ведет к недоразумениям в случае, когда мотивы, по которым был выбран тот или иной базис, не ясны выбирающему, так что в любой соседней координатной окрестности он может заменить этот базис другим. В этом смысле распространенная практика использования термина «скаляр» по отношению к Rih3 всякий раз, когда базисные векторы (a4, caJ", Єй получены не из системы координат, едва ли заслуживает одобрения, и понятие мирового скаляра, если его нельзя избежать, следует сохранить скорее для функций и чисел, определение которых не зависит от выбора базиса, а не для величин, возникающих в результате этого выбора.

Законы преобразования

При замене базиса е* -> Ьд, в касательном пространстве происходят, очевидно, и соответствующие изменения базисов во всех тензорных пространствах. Законы преобразования компонент тензоров при этом неявным образом содержатся в уравнениях типа (3.22) или (3.25).

Отображение ф : M N индуцирует различные отображения тензоров. В частности, для ковариантного тензорного поля имеем отображение
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed