Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
г2 = х\ + x\ + Z2 = const, просто получив из (2.28)
Vi [г2I = 2BijkXjXk = 0.
Расслоенные пучки
Точечному множеству
?T(M) = {vx\xeM, vx?T(x)} (2.50)
можно придать структуру многообразия; тогда оно называется касательным пучком к M1). Отображение (проектирование)
n:f(M)-*M:vx-*x (2.51)
будет дифференцируемо. Прообраз точки х при этом проектировании представляет собой как раз касательное пространство в точке х
K1(X) = T(X) (2.52)
и является в данном пучке слоем над х. Все слои диффео-морфны друг другу, а в рассматриваемом случае также и En. (Диффеоморфизм есть одно-однозначное дифференцируемое отображение, обратное отображение которого также дифференцируемо).
1J Следует отметить, что в литературе наряду с термином пучок употребляется также термин расслоенное пространство (см., например, [16]).— Прим. ред. Дифференциальная геометрия и топология
221
Каждое векторное поле v на M есть сечение касательного пучка, т. е. дифференцируемое отображение
v.M~^3T(M), (2.53)
удовлетворяющее тому условию, что
я CV = I (2.54)
есть тождественное отображение многообразия M на себя. Так как я, ограниченное до подмножества v (M) пучка JT (M), является дифференцируемым обращением отображения V, то мы видим, что V есть одно-однозначное и регулярное погружение многообразия M BjT (M). Глобальные сечения расслоенных пучков часто не существуют, но касательный пучок, конечно, допускает сечение v=0.
Дифференцируемая структура пучка определяется так, что в любой координатной окрестности U базы M данный пучок есть прямое произведение. Пусть Xі (х) — локальные координаты на U CI М, тогда любой вектор Ух Є T (х) можно единственным образом представить в форме
это дает нам координаты Vі на слое T (х). Множество я-1 (U) а (M) становится координатной окрестностью на ЗГ (M), когда мы ставим в соответствие вектору Vx координаты
Vx <--> (х1, X2, ..., Xn, Vі, V2, Vn).
Таким образом, JT (M) есть 2п-мерное многообразие. Условия перекрывания на я-1 (U) (~| я-1 (V) легко проверяются: они оказываются следствием закона преобразования Xі (yh>) на U П F h соответствующих преобразований координат Vі = (дх%/дук') Vh' в T (х).
III. Тензоры
Пространство T1 (х) ковариантных векторов или дифференциальных форм в точке X определяется как векторное пространство, дуальное касательному пространству T (х) = T1 (х). Коеариантный вектор о, таким образом, 222
Статья 7. Ч. M и г н е р
по определению, является линейным функционалом на T1 (х):
o:T(x)->B:v->{o, v). (3.1)
При этом линейность, конечно, означает, что
(ст, AV1 + bv2) = а (ст, V1)+ Ъ (о, V2). (3.2)
Следующие примеры существенны для теории.
ПРИМЕР 1. Задав какой-либо базис ег пространства T1(X), получим для каждого V^T1(X) единственное разложение
V = ^ei, (3.3)
и, следовательно, существуют п линейных функционалов Wi, определяемых как
v) = vі. (3.4)
Эти векторы ш T1 (х) фактически образуют базис в пространстве Ti (х), так как вследствие линейности ст имеем
(ст, v) = (CT, Угег) = (СТ, ег) vі = == oivi = CTi ((0і, v) = (CTjft)*, v),
или
CT = CTjWi, (3.5)
где введено определение
oi = (Ст, е;). (3.6)
Уравнение (3.5) показывает, что любой вектор ст есть линейная комбинация величин Coi, которые поэтому образуют базис. Соотношение
((0і, ej) = o) (3.7)
характеризует связь между базисами (0і в T1 (х) и е} в T1 (х), которые называются дуальными друг другу. Все вышеприведенные соотношения носят чисто алгебраический характер; дифференциальная геометрия впервые появляется в следующем примере. Дифференциальная геометрия и топология
223
ПРИМЕР 2. Каждая функция / ? (f (х) определяет элемент df Є T1 (х) как функционал
df:v—>(df, v) = v[/], (3.8)
который называется дифференциалом или градиентом функции /. Поскольку его компоненты имеют более привычный вид в координатном базисе, отметим, что градиенты dxi координатных функций Xі удовлетворяют вследствие (3.8) соотношению
M
и образуют поэтому базис, дуальный к базису в T1 (х),
«.-(?),. (3.10,
Таким образом, компоненты df равны
(df)t = {df, ег> (3.11)
так что в качестве следствия из (3.5) имеем равенство
df=CijXdxi- (ЗЛ2>
Операция построения градиента от функции или ядра функций оказывается, таким образом, линейным отображением
d: P(X)-^T1(X). (3.13)
Законы преобразования
Отображению ф : M —> N соответствует индуцированное отображение ф * : T1 (х) <— T1 (фж) ковариантних векторов в соответствующих точках. Это отображение определяется как
(ф*®<р*, Vac) = (<0фЖ, ф*уж), (3.14) 224
Статья 7. Ч. M и г н е р
,или коммутативной диаграммой
Т1(срх)
(3.15)
После того как было определено ф * (теперь и для кова-риантных векторов, так же как для скалярных функций), на диаграмме
jm
ад-
У (ух) dN -T1(Cpx)
(3.16)
определены уже все отображения, так что необходимо доказать коммутативность
Имеем:
dM° ф* = ф* 0 dN, dM (ф*/) = Ф* (dNf).
(dM (ф*/), = (dNf), \х)
II II
V* [ф J\ (dNf, ф*уж)
