Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Определению (6.3) можно придать более развернутую форму. Будем говорить, что две р-формы Gt1 и а2 кого-мологичны:
O1 ~ (X2 (6-4)
в том и только в том случае, если они отличаются на точный дифференциал (кограницу) d?:
Ct1 — а2 = d?. (6.5)
Тогда группа (M) состоит из тех р-форм а, которые когомологичны нулю: а ~ 0. Элемент [а] ? Hp (M) есть класс эквивалентности (для отношения эквивалентности « ~ ») замкнутых дифференциалов а, называемый когомологическим классом. Тогда размерность Hv (M) представляет собой число (линейно независимых) нетривиальных когомологических классов замкнутых дифференциальных форм.
ПРИМЕР? На многообразии M2 = E2 — {0} (проколотая плоскость) полярный угол <р не является дифференцируемой функцией ввиду многозначности. Однако d(p = = d (ф + 2л), так что dq> 6 JT1 (Mi). А так как d (dy) = О, то йф 6 SS1 (М2). Ясно, что dtp не точный дифференциал, но я повторю известное доказательство. Пусть f ? Jf0 (М2), и пусть с : [0, 1 ] -> M2 — замкнутая кривая. Тогда і
J d/= $gdf = /(c(l))-/(c(0)) = 0,
с О
так как с(1) = с(0). Но если с окружает начало координат, то
гіф = 2л Ф 0. Дифференциальная геометрия и топология 241
Обратим внимание, в частности, что для любой 1-формы ст, когомологичной а!ф, получается
Scr=W'
с с
поскольку для всех замкнутых кривых с
J (ст—Ap)= ^df = 0.
с с
Таким образом, значение интеграла по замкнутой кривой зависит только от когомологического класса подынтегрального выражения. Теорема Стокса позволяет обобщить этот результат:
^da= Jj а, (6.6)
с гран, с
где р-форма а интегрируется по р-мерной поверхности гран, с, являющейся границей (р + 1)-мерной поверхности с. Если с замкнута, то гран, с = 0, и тогда
^da = 0.
с
Таким образом, а ~ 0 означает, что интеграл от формы а по всякой замкнутой поверхности исчезает, a CC1 ~ а2 означает, что интегралы форм at и а2 по любой замкнутой поверхности с равны.
Пример. Обычные дифференциалы координат dx и dy на E2 инвариантны относительно группы трансляций и поэтому определяют 1-форму на торе T2. В качестве базисов для групп когомологий Hv \Т2) можно взять следующие когомологические классы: / = 1 для H0; dx и dy для H1; dx Д dy для H2. Выбор dx и dy в качестве базисных элементов вовсе не является единственным; можно было бы с одинаковым успехом взять, скажем, dx и (dx~\~dy"), и действительно отображение {х, у) ->- (х, х + + у) пространства E2 на себя определяет диффеоморфизм T2 в себя, переводящий один базис в другой.
Вернемся теперь к формальной алгебраической структуре теории когомологий. Наша первая задача — разо-
16 Заказ M 28 242
Статья 7. Ч. M и г н е р
браться в индуцированных отображениях. Задавая отображение ф : M -+¦ N, мы уже тем самым определяем все отображения ф * на диаграмме
P0 (M) X... Л Pv (M) X рр+1(М)Х ...
ф*| Ф*| Ф*| (6.7)
P0(N) X... Xpv(N)Xpm(N)X ...
и знаем, что каждый квадрат на этой диаграмме коммутативен, т. е. dq> * = ф * d. Следовательно, ф * отображает Zv (N) в %р (M), так как если da ~ 0, то d (ф*а) = = ф * da = 0; другими словами, а ~ 0 означает, что ф*а ~ 0. Следовательно, ф * отображает когомологический класс на N в гомологический класс на M:
а, ~ Ot2 Ф-^Фс^ — Ct2 = d?=> ф*^—ф*а2 = ^(ф*Р)=^ф*а1-~ф*а2.
Отображение ф* коцепных комплексов, таким образом, определяет гомоморфизм (линейное отображение) групп когомологий:
Ф# :Н» (M) Hp (N). (6.8)
(Поскольку мы теперь находимся на стадии, когда алгебра преобладает над дифференциальной геометрией, то различные индексы, такие, как р и ф, поднимаются наверх ради большего согласования с условностями именно алгебраической топологии, а не дифференциальной геометрии.) Далее, все эти отображения соответствующим образом связаны друг с другом; именно, задавшись
L ХмХ N (6.9)
и имея в виду, что
Pp (L) Ii Pp (M) T- Pp (N), Hp (L) Hp (M) ^ Hp (N),
мы найдем:
¦ф *о ф * = (ф о if) *, (6.10)
1|)#оф# = (фо1|))#. (6.11)
Это обращение порядка композиции характерно для ковариантного закона преобразования. Так как тожде- Дифференциальная геометрия и топология 243
ственное отображение 1 : M M, очевидно, индуцирует тождественные отображения, то любой диффеоморфизм <р : M ->- N индуцирует изоморфизм ср# : Hf (N) (Н*>М) вследствие соотношения ф"1 О ф == 1 и уравнения (6.11).
Еще интереснее тот факт, что даже отображения, гораздо более грубые, чем диффеоморфизмы, могут индуцировать изоморфизмы групп когомологий, именно гомотопические эквивалентности. Два отображения ф, "ф '.M-+ -+ N гомотопны, если существует дифференцируемое отображение произведения IxMbN
h\ I х M —>N, (6.12)
такое, что
h (1, х) = ф (х)
и
h (0, х) = Ц(х). (6.13)
Здесь I = [0, 1 ] — единичный интервал *) на действительной оси, a IxM — множество пар (t, х) с t ? I, X ? М, построенных при помощи координатных систем (t, Xі, X2, . . ., хп) на I X U над координатными окрестностями (U, Xі) многообразия М. [В обычном своем смысле гомотопия включает только непрерывность, но не дифференцируемость. ] Таким образом, два отображения г|) и ф гомотопны, если одно можно гладко деформировать в другое (эта идея выступает нагляднее в специальном случае, когда оба отображения являются вложением M в N: по мере того как t изменяется от 0 до 1, мы можем наблюдать, как один образ M деформируется в другой).
