Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Несколько труднее показать, что
H1(Sn) = O (п> 2), (6.30)
однако это вычисление демонстрирует связь между группой H1 (M) и щ (M) для произвольного многообразия. Здесь л4 (M) —«фундаментальная группа» многообразия M, представляющая собой множество всех гомотопически эквивалентных классов замкнутых кривых в М, причем произведение двух замкнутых кривых, исходящих из одной точки, определяется как крирая, получаемая,
далее, открытый шар или диск
Dn = {x?Z?n|(| х|| < 1} диффеоморфен En ввиду преобразования
Д" —> Д" : X —> у = . * „ , которое имеет дифференцируемое обращение
J 1 + 11 У Il Дифференциальная геометрия и топология
251
когда мы последовательно проходим эти кривые одну за другой. Пусть F = Fidxi — замкнутая 1-форма на М, так что dF = 0. Чтобы доказать справедливость H1 (M) = = 0, мы должны убедиться, что F = — dV. Но
x x
V(x)= — ^ F = -§ Fidxi (6.31)
xg xq
дает дифференцируемую функцию V, только если интеграл не зависит от выбора кривой, соединяющей точки X0 и X, или, что тотке самое, если на всех замкнутых кривых
Доказывается, что для всех замкнутых кривых, гомотопных нулю, т. е. деформируемых в точке,
\ Г = 0;
v
тогда равенство H1 (M) = 0 следует из условия, что Jt1 (M) = 0, т. е. что все замкнутые кривые гомотопны нулю. Если C1 : / ->- M — замкнутая кривая, так что C1 (0) = C1 (1), то утверждение, что C1 как замкнутая кривая гомотопна нулю, означает, что существует отображение стандартного 2-куба I1 X I1 в M
с2:М,
такое, что C2 (1, t2) = C1 (t2), с2 (0, t2) = X0 = «нулевой кривой» и с2 (t1, 0) = C2 (г, 1). Тогда по теореме Сток-са х) имеем:
Jf=JdF = O, (6.32)
cI с2
поскольку dF = 0. Итак, чтобы закончить вывод уравнения (6.30), мы должны показать, что K1(^n) = 0 при п > 2, т. е. что«тг-сфера просто связна при п > 2». Пусть Ci — произвольная замкнутая кривая в Sn. Тогда при п > 2 будет существовать какая-нибудь точка х ? Sn, не
!) По поводу доказательства теоремы Стокса и определения теории кубических сингулярных гомологий см. работу Мизнера и Уилера [6], перепечатанную в «Геометродннамике» Уилера |7]. 252
Статья 7. Ч. Muanep
лежащая на кривой; пусть это будет северный полюс сферы, en+i = (0, 0, . . ., О, 1). Определим проектирование
положив
(6.33)
где мы отождествили En с плоскостью у • е„+1 = — 1 в En+1 (фиг. 4). Это — диффеоморфизм Sn — {е„+1}
Фиг. 4. Это — диффеоморфизм Sn — {еп+1} в En, так что Sn — {en+i} можно деформировать в точку [как En в (6.25)], вместе с c1. Таким образом, c1 стягиваема в точку, и Ji1 (Sn)= 0 (ге> 2).
в En, так что Sn — {en+i} может быть деформировано в точку [как En в (6.25)], увлекая вместе с собой и кривую C1. Таким образом, C1 стягиваема в точку и ^1OSin) = О при л > 2.
VII. Идеи клеточной когомологии Комбинаторная топология
Завершение вычисления групп когомологий для Sn представляет собой довольно фундаментальное предприятие и опирается на теорему, сравнимую по сложности с теоремой гомотопической инвариантности (именно, теорему о существовании и точности последовательностей относительных когомологий; см. ниже). В результате этого более полного развития теории когомологии мы приходим к пограничному оператору б (получаемому Дифференциальная геометрия и топология
253
из d). Оператор б допускает интуитивное истолкование -и может быть использован для того, чтобы при помощи простых диаграмм представить систему гомоморфизмов между группами когомологий многообразия M и группами когомологий многообразий и что в конечном счете позволяет вычислить Hp (M). Тор служит простым примером подобной процедуры. Разложим тор на четыре клетки, о2, а\, и о0, как показано на фиг. 5. Будем /г-клеткой о" в многообразии M называть подмногообразие многообразия М, диффеоморф-ное га-шару или диску Dn. Этот диффеоморфизм ф I Dn : Dn ->¦ M является ограничением до Dn отображения ф : Dn M замкнутого шара Dn = {х ? En | ||х|| < 1} в M (отметим, что ф не обязательно должно быть одно-однозначно на границе Sn'1 диска Dn). Отображение ф индуцирует отображения когомологий каждой из ячеек, лежащих на ф (Dn) и Ф (Sn'1), на группы когомологий многообразий Dn и Sn'1. Чтобы формально получить гомоморфизм б, описывающий характер прикрепления Dn к Sn'1 в Dn, требуется определить группы относительных когомологий Hp (Dn, Sn'1), которые будут описаны позднее. Это представление о прикреплении затем переносится (при помощи отображений ф для клеток, на которые разложено многообразие М) на описание того, как любая (р — 1)-клетка Op"1 прикрепляется к различным р-клеткам Op, на замыкании которых они лежат. Это прикрепление описывается уравнением
Sffp-1 = Se-^. (7.1)
а
где ®а — действительные числа. Таким путем доказывают, широко опираясь на алгебраические методы, что,
<7° <
Фиг. 5. Если плоскость E2 спроектировать (вводя двойную периодичность) на тор Г2, то каждый квадрат плоскости будет соответствовать 2-клетке а2, каждый горизонтальный сегмент— 1-клетке Ojl, вертикальный сегмент — 1-клетке а*, а все вершины — О-клетке аО на Г2. 254
