Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Статья 7. Ч. M и г н е р
отправляясь от теории когомологий де Рама (или какой-либо другой), можно из нее получить другую теорию когомологий, называемую клеточной когомологией, которая порождает группы когомологий, изоморфные группам исходной теории для каждого пространства, допускающего надлежащее разложение на клетки. Так как ор из уравнения (7.1) фигурируют в зтой алгебре, то они означают там не подпространства Op многообразия М, а операторы, порождающие соответствующие группы когомологий этих клеток. Выбор того или иного оператора может сводиться просто к выбору знака; этот знак на фиг. 5 указывают стрелки ориентаций. Вычисления в следующей .лекции проводятся в рамках зтой теории клеточных когомологий; они послужат иллюстрацией того интуитивного геометрического смысла, который можно придать оператору б.
Задав разложение на клетки тора T2 или какого-либо другого многообразия, определяют коцепь как функцию, определяющую отображение от ячеек на группы коэффициентов (действительные числа в нашем случае или целые числа в более рафинированных исследованиях по топологии). Эта функция представляет собой р-коцепь ср, если она исчезает везде, кроме р-клеток, и табулируется при помощи уравнения
(7.2)
которое указывает, что значение ср на O^ равно аа, т. е. при помощи истолкования о % k^k р-коцепи, значение которой на р-клетке Ор равно (O? ) = 6ag. Пусть Cp (M) — группа р-коцепей. Совместно с кограничным оператором б, удовлетворяющим, как будет показано, условию б2 = 0, эти группы образуют коцепной комплекс
Л Cp-1 (M) Л ср (M) Л cp+i (M) Л, (7.3)
так что можно определить его группы когомологий. Пусть Bp (M) есть 6CP_1 (M), т. е. группа всех р-коцик-лов cv, являющихся кограницами, ср = бср_1. Пусть Zp (M) — ядро оператора бр, т. е. группа всех р-коцик-
Cp = Saa0S
о Дифференциальная геометрия и топология
255
лов, для которых бCp = 0. Определим
ЯР (М) = ZHM1 ^
х ' BV(M) v '
Главная теорема теории когомологий устанавливает, что для соответствующих M эта группа Hp (M) изоморфна группе Hv (M) исходной теории когомологий — в нашем случае теории де Рама. Мы переходим к вычислению группы Hp (Г2). Из фиг. 5 видно, что о", находясь на границах ст2 (левая и правая стороны квадрата, представляющего о2), прикреплена к ст2 двумя различными способами: один раз с одинаковой, а другой — с противоположной ориентацией. Поэтому
Аналогично
6oJ = O2-о2 = 0.
боі = CT2-CT2 = O.
Таким образом, C1 (Г2) представляет собой двумерное векторное пространство, порождаемое при помощи и Оно совпадает с Zx (Т2), поскольку каждая 1-коцепь есть 1-коцикл [имеет место равенство 6с1 = б (ао\ + Ъо\) = = 0]. В C0 (T2), порождаемой при помощи ст°, вычисляем
бО° = dl — Ol + О/, — Oft = О,
так что B1 (Г2) = бC0 (M) = 0, и поэтому H1 (Г2) есть двумерное векторное пространство, порождаемое гомологическими классами [о1] и [o/J. Аналогично H0 (Т2), порождаемое при помощи [ст°], и H2 (T2), порождаемое при помощи [о2], есть одномерные векторные пространства.
При выводе клеточной теории из теории де Рама в качестве одного из шагов вычисляют группы сфер Sn', однако более поучительно вычислить Hp (Sn) из клеточных комплексов. Пусть Sn разложена на объединение нулевой клетки о0, состоящей из северного полюса е„+1 и и-клетки о", покрывающей Sn — {е„+1}. [Напомним диффеоморфизмы (6.29) и (6.33).] Затем, поскольку р-клеток при 1 < р < п — 1 нет, соответствующие группы Cp (Sn) и Hp (Sn) исчезают. Точно так же и Bn (Sn) = = 6Cn_1 (Sn) = 0, так что On не гомологична нулю 256
Статья 7. Ч. M и г н е р
и порождает одномерное векторное пространство Hn (Sn). Согласно уравнению (7.3), оператор б, действуя на р-цепь или р-клетку сгр, производит только (р + 1)-клетки, к которым Op прикреплена; тот факт, что р-клетка может находиться на границе некоторой (р + 2)-клетки, игнорируется посредством алгебраизации этой идеи «прикрепления» в б. Таким образом, бег0 = 0, и группа H0 (Sn) также одномерна и имеет базис [о0]. В результате получаем:
H0(Sn) = R = Hn (Sn),
Hp(Sn) = O (1<р<«-1). (7'5)
Относительная когомология
Для того чтобы найти кограничный оператор б в теории когомологий де Рама, мы должны определить группы Hp (X, А) для пар пространств с А с X. Некоторые предварительные замечания покажут, что размерности пространств X и А можно считать одинаковыми. Пусть А — замкнутое р-мерное подмногообразие некоторого «-многообразия X. Тогда локально А можно описать уравнениями xp+1 = хр+2 = . . . = хп = О в некоторой координатной окрестности U многообразия М, выбрав эту окрестность настолько малой, что в U не лежат никакие другие точки А. Тогда (яр+1)2 + (хр+2)2 ¦+ . . . + (хп)2 < е2 локально определяет открытое подмногообразие многообразия X («растолстевшее» А) и (t, Xі) txl есть гомо-топия, стягивающая это «-мерное подмногообразие в U П А. Эти локальные конструкции составляют расслоенный пучок над А, являющийся открытым подмногообразием многообразия X и гомотопически эквивалентный многообразию А. Далее, замыкание такого «растолстевшего» А есть «-многообразие, границей которого, (хр+1)2 + ... 4- (хп)2 = E2, является замкнутое (« — 1)-подмногообразие многообразия X. Поскольку группы гомологий сохраняются при отображениях в силу гомотопической эквивалентности, мы можем пользоваться «растолстевшим» А всегда, когда интересуемся группами многообразия А.
