Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
В массивных звездах конвекция велика, а при значении ? ~ 0 это наиболее близко соответствует поли-тропной структуре с индексом п = 3. Для п = 3
Q=Itgm2'
и интегралы в (23) можно подсчитать численно, используя табл. 6 книги Эддингтона [И]. В результате получим
Eeq 3 о / GM Vc,/ GM \ 2
—it
Mc2
Re \ . / Rq
--40)+^(-5-) <"-3>' <24>
где Rg = (2GM/c2) = 3,0 • IO5 (М/М0) cj« является граничным гравитационным радиусом политропы.
Уравнение (24) дает первые два члена общего разложения через безразмерный параметр
/MN2 і Vs
Rg _ 2GM _/32яСЗ -хУз_ Д ~ Re* - V4 Зсб
1,8-Юи
IVs
(25)
Обычно полагают, что общерелятивистские эффекты становятся важными, когда значение этого параметра достигает порядка единицы, т. е. когда - / Mm Ч 2
Q = 1,8-IO16 (-J^-) г/см3. (26)
Иначе говоря, для звезд с массой порядка солнечной критическая средняя плотность будет величиной
18 Заназ Ki 28 274
Статья 8. В. Ф а у л е р
порядка IO16 г /см3, что превосходит ядерные плотности 2-Ю14 г/см3). Но для массивных] звезд с M = IO8Mg средняя критическая плотность будет порядка единицы, в центре плотность будет составлять около 100 г/см3, и общерелятивистские эффекты будут существенны даже в тех интервалах, в которых атомные и ядерные свойства материи хорошо известны. Кроме того, уравнение (24) показывает, что общерелятивистский член второго порядка в энергии связи звезды будет сравним с нерелятивистским членом первого порядка тогда, когда
«3-Ю-4 для (1 = 1, M = IO8-M0, и = 3, (27)
или
«3,2-10l7(A)1/2 для (х = 1,
» 3,2-10"11 г/см3 для M = IO8-M0, п = 3. (28)
Величина EeqIMci достигает минимума при плотности, равной одной восьмой от указанной, т. е. 2GMIRc2 = = 0,15 ?. Отсюда можно видеть, что общерелятивистскими эффектами нельзя пренебречь даже на относительно ранних стадиях сжатия массивных звезд. Ясно также, что метод возмущений, применявшийся при нахождении членов второго порядка в (24), в этом случае достаточно точен. Структура звезды оказывается структурой классической политропы, В то же время классический результат для массивных звезд, удерживаемых посредством давления излучения, приводит к почти нулевой энергии связи. Поэтому при подсчете энергии связи в случае звезд аномально больших радиусов и малых плотностей доминирующим становится релятивистский член второго порядка.
Для многих целей, в частности, связанных с учетом скоростей ядерных процессов, бывает удобно заменить радиус R в параметре коллапса через центральную тем- Массивные звезды., релятивистские политропы 275
пературу. Это осуществить совсем нетрудно, поскольку радиус политропы индекса п связан с центральной температурой Tc соотношением
Используя (23), (29), получаем для трех политроп
= -2,1-IO-13Tc+ 5,0-IO"27 (J^)Tl
для га = 0, (30)
Eeq _ о M3 Ш rn , Q M3 a^Hf^M Mc2--0 R3 цс* R3 СІ 1с~
= —1,6.10-13Гс-+3,3.10-« -) ^ для га = 3, (31)
В численных выражениях мы положили здесь jl = V2, поскольку при низких температурах — до того как начнется выгорание водорода — важную роль играет первый член. Из выражений (30) — (32) ясно, что отношение второго члена к первому мало зависит от структуры политропы.
Ti = 276
Статья 8. В. Ф а у л е р
Первые члены выражений (30) — (32) указывают на линейное уменьшение полной энергии звезды с центральной температурой (увеличение энергии связи) в процессе сжатия звезды из дисперсного состояния. Это соответствует классическому случаю (15). Второй член в каждом из соотношений (30) — (32) обусловлен общерелятивистскими поправками первого порядка. Этот член положителен. При достаточно высоких температурах присутствие его ведет к положительным значениям полной энергии и отрицательным значениям энергии связи, как это показал более точный анализ вопроса (Айбен [9]). Соотношения (30) — (32) воспроизводят численные результаты Айбена с хорошей точностью.
Минимум полной энергии достигается при температуре
7^ = 2,5-1013^- (для га = 3); (33)
энергия вновь переходит через нуль и становится положительной в области
Tc = 5- IO1A (п = 3). (34)
На фиг. 1 приведены эти зависимости для случаев M = IO+eM0, M = IO7M0, M = IO8M0.
Во всех трех случаях энергия, необходимая для установления гидростатического равновесия, достигает больших и положительных значений до того, как начнется ядерное горение водорода при 8-107°К, как было установлено Хойлом и Фаулером [4]. Нулевой энергии отвечают температуры 5-IO7, 5-Ю6, 5-Ю8 0K соответственно.
Члены второго порядка в (24) и (30) — (32) указывают, что для поддержания давления, обеспечивающего гидростатическое равновесие при общерелятивистских условиях (Tc > 5-Ю13 (М0/М) °К), необходимы большие количества внутренней энергии. Могут ли ядерные реакции обеспечить такую энергию? Превращение водорода в гелий освобождает 0,7% энергии, соответствующей массе покоя ¦сгорающей части звезды. Верхний предел определяется концентрацией водорода в центральных областях звезды (~0,3 М), которые могут выгореть до того, как гравитационные красные смещения приостановят выделение энер- Массивные звезды., релятивистские политропы 277
