Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
е —1= — — ?<0 приГ<109°К. (10)270
Статья 8. В. Ф а у л е р
При более высоких температурах и достаточно низких плотностях пе > по, так что
8-l = |?[x + z-3]>0. (11)
При высоких температурах и высокой плотности может возникнуть ситуация, когда пе ~ п0 и х ~ 3, так что в — 1 ж 0. Вообще говоря, є возрастает от значения 1I2, соответствующего очень низкой температуре, быстро достигает единицы в массивных звездах, затем вблизи T = = 2-Ю9 0K достигает максимума, равного ~1,2, и при еще более высоких температурах снова становится равным единице. Внутренняя энергия единицы объема и = Зер меняется внутри звезды прежде всего благодаря быстрому росту давления р, а не вследствие изменения е. В дальнейшем мы будем пренебрегать изменением є и используем среднее значение є для оценок порядков величин.
Перейдем теперь к классическому расчету E при помощи соотношения (7). Интегрирование SepdV можно выполнить, используя выражение для градиента давления в звезде. В классическом случае
&—,(,+?)—Л»--*«?". (12)
где q — плотность, g = GMrIr2 — ускорение силы тяжести и dv/dt — действительное ускорение вещества, измеряемое с положительным знаком во внешнем направлении, т. е. в направлении возрастания г. В данной статье мы не будем иметь дела с динамическими эффектами (dv/dt Ф 0) иначе как через переменную /, введенную в градиент (12). При сжатии (dv/dt <10) будет / <С 1, при взрыве (dv/dt>0) — напротив, / > 1. Так же, как и для е, мы введем среднее значение /.
Тогда классический расчет дает
R RR
J SzpdV = ZzpV — J ЗеVdp- J SpVde «
0 0 0 R
X J Anr3EfQg drttlf^ ^QdV = ф, (13)
оМассивные звезды., релятивистские политропы 271
где легко заметить приближения, заключающиеся в отбрасывании вариаций є и /, в частности приравнивание нулю de. Итак,
E ^ (ef-l)Q +Emn^ (ef-l)Q+ Ewh. (14)
Отметим, что произведение е/ надо усреднить по pdV и что второе приближение следует применять с осторожностью. В случае гидростатического равновесия во всей звезде / = 1, .Ea1IH = O,
Яравновесн » 1) Q « -^Pq при Г < IO9 0K. (15)
Таким образом, энергия связи классической звезды равна 1I2Q при ? = 1, если можно пренебречь давлением излучения (небольшие звезды). G другой стороны, энергия связи исчезает при ? = 0, если давление излучения оказывается доминирующим (весьма массивные звезды). При температурах выше IO9 0K образование электрон-пози-тронных пар может привести к звездам, полная энергия которых положительна, т. е. энергия связи отрицательна, как это видно из соотношения (И). Если эта энергия не может быть приобретена после прохождения звездой связанных состояний квазигидростатического равновесия при низких температурах, то є/ будет оставаться меньше единицы. Это значит, что по крайней мере часть звезды должна сжиматься довольно быстро, причем внутренние области, где температура выше и е имеет большее значение, будут наиболее склонны к быстрому сжатию.
В общерелятивистском случае мы заменяем (12) равенством
dr г2 V4 Qc2 JK^ мгс2 J х
(16)
Заметим, что эффективная гравитационная постоянная р расходится в пределе (IGMrIrc2) -*¦ 1. Таким образом, при подходящих обстоятельствах из наиболее слабого взаимодействия гравитация превращается в наиболее сильное. Под интегралом в (6) стоит У1 — (2GMrIrc2)272
Статья 8. В. Ф а у л е р
в знаменателе, поэтому мы разделим равенство (16) на этот множитель и разложим обе стороны его в ряд:
(17)
Так же как и в классическом случае, мы используем (17) для вычисления первого интеграла в (6). Далее, разлагая второй интеграл в ряд, получаем окончательно
Я= (8/-1)0 + ^8(/ + 1) J prMTdr + ЦГ^Ї) J Qpri dr +
16k*G¦
+ ?? (*/-!-) $ QWdr + Ew, (18)
где различные средние Ef vi & берутся с различными весовыми функциями, но мы не будем останавливаться на этом пункте. Исследуем результат (18) в случае гидростатического равновесия, когда / = 1, Ewavl = 0. Можно принять приближение є = 1 во всех членах, кроме первого, В котором Є — 1 = — 112$, причем ? является некоторым средним:
? « (-^) при Г<10»«К. (19)
Здесь ц — средний молекулярный вес, одинаковый по всей звезде, и Te — температура в центре. Уравнение (19), как можно показать, приближенно верно для больших звезд (М> IO3M0) при центральных температурах < IO9 0K. Величина Tjn задается выражением
*-?(»+V ?-0?-)". <20>
Ґ Mn V
Tb = 335 \-jj~) при в = 3, (21)
где Mn есть постоянная интегрирования, определяющая шкалу масс для дифференциального уравнения второго порядка, описывающего политропу индекса п. Например, M3 = 2,018. Вторая константа связана со шкалой радиусов. В дальнейшем она будет обозначаться через Rn;Массивные звезды., релятивистские политропы 273
например, R3 = 6,897. Для политропы индекса 3 внутри звезды ? будет постоянна, и мы имеем
R о 4,3/? у/2 ,
?~10"2, M ~ IO6M0, — IO-4, M-IO10M0. (22)
Для всех массивных политроп ?<l. Во всяком случае, для состояния гидростатического равновесия уравнение (18) принимает вид
Eeq = - ± ??2 + J prMT dr + ^ J QM2r dr. (23)