Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть (X, А) — пара, состоящая из «-многообразия (или многообразия с границей) X и «-многообразия с гра- Дифференциальная геометрия и топология 257
ницей А, внутренность которого есть открытое подмногообразие, а граница — замкнутое (п — 1)-мерное подмногообразие многообразия X. Отображения пар
ф : (X, А) -> (Y, В) (7.6)
есть отображения ф : X ->¦ У, которые, будучи ограничены до Л с X, дают отображения фА : А В. Аналогично имеем гомотопию h : (I X X, I X А) ->¦ (У, В). Легко проверить, что если а есть (р + 1)-форма на У, то цепная гомотопия 3>х, построенная из h в уравнении (6.18), и гомотопия SBa, соответствующая ограничению hixA ' I X. АВ гомотопии h, удовлетворяют соотношению
i*3x = 3Af, (7.7)
где і : А -»- X и і : В Y — включения. Для этого необходимо только рассмотреть значение формы За из уравнения (6.18) в точке x многообразия А, і*зха, и убедиться, что ее конструкция в правой части зтого уравнения включает h как раз вблизи / X {х} a I X А, а поэтому 3А и а в точках вблизи h (I х {ж}) er В, и, таким образом, ]'*а. Следовательно, гомотопия пары дает пару надлежащим образом связанных цепных гомотопий 3 = (sbx> 3> а) в группах коцепей Pv(X) и pv (А).
Для пары (X, А) мы имеем не только коцепные комплексы
d , л. d
(А)-*,
но можем также определить коцепной комплекс
-Xpv(X,A)Xpv+i{X,A)X, (7.8)
где каждая коцепь a?pv(X, А) есть р-форма на X, а Є JFp(X), исчезающая на А. Для этого коцепного комплекса мы образуем группы Hp (X, А) относительных когомологий многообразия X по модулю А. Заметим, что р-форма а в Pv (X, A) a Pv (X) может быть кограницей на X, а = ri?, но не обязательно должна быть кограницей на XmodA Для того чтобы а?Вр (X, А), необходимо, чтобы мы могли выбрать ? в a = d? так, что ? будет
17 Заказ Wl 28 258
Статья 7. Ч. Muanep
обращаться в нуль на А. Эта возможность порождает гомоморфизм б в последовательности относительных когомологий
-» Hp (X) iX Hp(A)-X #p+1 (X, А) Д #p+1 (X) ->. (7.9) Отображения г'# и индуцированы включениями г : А—>Х,
І :Х == (X, ф) —> (X, А), (7Л0)
где ф — пустое множество. Кограничный оператор б определяется оператором d и процедурой расширения форм, определенных па А, до форм, определенных на X. Предположим, что [а] ? Hv (А) и что мы хотим определить б [а] ? #p+1 (X, А). Выберем некоторое а ? [а]; это будет р-форма, дифференцируемая на замкнутом множестве А и удовлетворяющая на нем условию da = 0. Мы распространим определение а произвольным образом на форму а на X. Тогда, поскольку а = а на А, то da исчезает на А, т. е. da ? jFp+1 (X, А). Действительно, d (da) = = 0, так что da ? Zp+1 (X, А). Поскольку а не исчезает на А (если а не исчезает), то нет необходимости в том, чтобы da содержалось в .ВР+1(Х, А), и определение
б [а] = [da] ? #p+1 (X, А) (7.11)
оказывается нетривиальным (т. е. иногда б ф- 0). В этом определении нужно проверить два обстоятельства: 1) независимость б [а] от метода расширения а на А до а на X и 2) независимость б [а] от конкретного выбора а ? [а], используемого в определении.
1. Предположим, что а и а — две р-формы, определенные на X и удовлетворяющие на А условию а = а = = а; тогда а — а исчезает на А и поэтому лежит в Spv (X, А), так что da — da находится в Bp+1 (X, А) и [da] =
= [da] g Яр+1 (X, А).
2. Теперь допустим, что Ia1 ] = [a2] ? Hp (Л), так что aj —a2 = d? на А. Мы должны убедиться, что Дифференциальная геометрия и топология
259
[riaj — [ria2] = [riri?] = 0, но так как все расширения одинаково хороши, то расширим ri? при помощи первоначального расширения формы ?, заданной на А, до ?, заданной на X. Затем определим расширение ri? формы ri? как ri? = ri?. Далее, ri (ri?) = ri2? = 0 и [riaj = = [da2], что и требовалось показать.
В качестве примера рассмотрим пару IE2, /S1], причем здесь, используя гомотопическую эквивалентность, положим
.S1 = (Xetf2IIlXl^l). Если в качестве a ? ^r1 (S1) выбрать форму
a = йф
(г и ф — полярные «координаты»), то, очевидно, da, = О, и поэтому [a] ? H1 {S1). Чтобы вычислить б [а] ? Я2 (E2, S1), расширим определение а до а на E2. При этом на E2 нельзя выбрать а = гіф, так как гіф не дифференцируема в начале координат; поэтому положим
а = гіф J (г),
где J (г) — принадлежащая классу Cco функция, обращающаяся в нуль при г < 1U и равная 1 при г > 3/4. Далее выберем из б [а] элемент
ба = da = Q (г) dr Д гіф;
здесь Q (г) =у (г) — функция, обращающаяся в нуль при г -< V4 и г > 3/4, а следовательно, и на S1, в силу чего ба есть коцикл в Z2 (E2, S1). Пытаясь найти ? ? ^rI (P2, S1), такую, что ба = ri?, можно взять для пробы
которая обращается в нуль на S1 и дает ба = ri?, но тогда вблизи начала координат ? = — гіф будет не дифференцируемой, и [ба] = б [а] ? H2 (E2, S1) не обращается в нуль.
17* 260
Статья 7. Ч. M и г н е р
Сформулируем основную теорему касательно групп Hp (X, А) (устанавливающую, что когомология де Рама удовлетворяет другим аксиомам теории когомологии).
ТЕОРЕМА ТОЧНОСТИ. Последовательность относительных когомологий (7.9) есть точная последовательность.
