Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Плодотворность этой идеи опирается на тот факт, что уравнения свободных полей любого спина с нулевыми массами покоя при надлежащей интерпретации конформно инвариантны; например, для поля со спином 0 из волнового уравнения, записанного в виде
{W4-?}«p=ot
где Л —скалярная кривизна, a V11- оператор ковариант-ного дифференцирования (и то и другое относительно Конформная трактовка бесконечности.
153
метрики ^liv многообразия <М), следует:
где V11 ИЙ относятся К метрике = многообра-
зия аМ и ф = ?2ф. В случае поля со спином 1 мы имеем уравнения свободного максвелловского поля
V%v = 0, Vo-F p.v] = О,
где Fjlv = Ftliv]. Для конформной инвариантности нужно положить просто
F1IV = Fnv-
Для поля со спином 2 можно использовать тензор Kjivpa, который имеет следующие свойства:
KjivPO = К[р0] [[W], -^nfvpo] = 0; Kvjla = О и удовлетворяет уравнению
V[Y^nv] pa = О или, эквивалентно, уравнению
v%VPCT=o.
Конформная инвариантность будет иметь место, если Kp.vpa = ?2 1Kjivpa.
Фиг. 1. Бесконечное физическое пространство — время сМ отображается в нефизическое «конечное» конформно эквивалентное ему многообразие <М с границей J, соответствующей «бесконечности» пространства — времени а/П. 154
Статья 5. Р. П е н р о у з
Результаты для полей произвольного спина наиболее легко формулируются (и доказываются) в рамках формализма двухкомпонентных спиноров. Поле спина S (s> 0) может быть представлено полностью симметричным спинором фab. ..к, имеющим 2s индексов и удовлетворяющим уравнению
VaW.. *=0
в качестве уравнения свободного поля. Для конформной инвариантности нужно, чтобы
фАВ.. .K = &S+1<fAB...K-
В случаях спина 1 и 2 связь между фа...к и соответствующими тензорными величинами дается соотношениями
^V = {фAB^6b + SAB фCf С*0 >
Klivpx = WabcdZ-f-J1 + eABeCDi^} o^ofofo™ .
Конформная инвариантность легко доказывается на основании следующего соотношения для произвольного спинора:
V .f . . = Qm+1V .1 • • +
XY 9A...KP...8 XY А. . .KP. . .S
+ Qmi(m — ±-r)l . .V + ? . .VAyQ+...
IV 2 J* A...KP...S XY 1 X. . . KP. . .8 x 1
...+I . .V .Q + ? . .V .Q+...
1 A. . .XP. . .S KY 1 bA... KY... S XP ~
где ^ ^ ^ имеет г индексов обоих сортов, а
С . • • •
А. . .KP. . .S = " ЪА . . .KP. . . S'
Конформная инвариантность для тензорного варианта тогда следует из результата для спиноров. Предполагается, что величины аАВ (эрмитовы 2 X 2-матрицы для каждого ц) преобразуются как
rX AB п-1^. ЛП Ou = У 1Ou , Конформная трактовка бесконечности.
155
поскольку это преобразование оставляет инвариантным основное уравнение
В качестве первого примера пространства — времени (М с конечным образом рассмотрим пространство— время Минковского. Используя изотропные координаты и, V (опережающее и запаздывающее время), физическую метрику можно представить в виде
ds2 = du dv — Y (и — v)2 {dQ2 + sin2 0 гіф2}, и > v.
Подходящий конформный множитель (conformal factor— англ.) дается формулой
Й=(1 + м2)-1/2(1 + і;2)-1/2. После замены координат
u = tgp, v = tgq нефизическая метрика принимает вид
ds2 = Q2 ds2 = dpdq — L sin2 (р — q) {ri02 + sin2 0 гіф2},
где р и q изменяются от —я/2 до я/2, причем р> q. Граничная гиперповерхность J многообразия еМ определяется значениями q = —я/2 или р = я/2, так как эти значения соответствуют бесконечности (V = — оо или и = оо) для <М. Обозначим область, задаваемую значениями q = — я/2, — я/2<р<я/2, через J". Аналогично пусть область J+ задается значениями р =я/2; — я/2 < < д < я/2. Точку р — q = — я/2 обозначим через /-, точку р = q = я/2 — через и точку р = —q = я/2 — через I0 (фиг. 2). Тот факт, что /+ и J0 являются отдельными точками, следует из того, что в этих точках sin (р — q) = 0. Это координатные сингулярности типа полюсов полярных координат. Многообразие M в этих точках регулярно. Фактически метрика ds есть метрика статической вселенной Эйнштейна, т. е. цилиндрического (S3 X ^^-пространства, изображающего трехмерное сферическое пространство, постоянное во времени. Много- 156
Статья 5. Р. П е н р о у з
образие <М является только конечной частью этого цилиндра (фиг. 3). Гиперповерхность J- представляет собой изотропный конус будущего cj вершиной . Этот конус
Q
Il
перефокусируется в точку которая пространственно диаметрально противоположна 1~. Нулевой конус будущего точки/0 есть J+, который в свою очередь перефокусируется в точку I+. Область, заключенная между J~ и J+, Конформная трактовка бесконечности.
157
конформна полному пространству — времени Минковского.
Смысл J-, I0, J+, I+ можно понять, рассматривая поведение кривых в Л, соответствующих прямым линиям в оМ (фиг. 4.) Кривая, являющаяся образом временнб-подобной прямой, начинается в точке и оканчивается в точке /+; образ пространст-венноподобной прямой начинается и оканчивается в образ изотропной прямой начинается в точке гиперповерхности Ct' и оканчивается в точке гиперповерхности Ct+- Таким образом, изображает бесконечность прошлого, I0 — пространственную бесконечность, I+— бесконечность будущего; Ct~ изображает изотропную бесконечность в прошлом, Ct + — изотропную бесконечность в будущем. Мы поэтому ожидаем, что поля с нулевой массой покоя должны быть существенны
