Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Даже в точной теории существуют соотношения, которые можно было бы назвать сильными законами сохранения. Например, дополнительные условия, приведенные в лекции IV, будучи проинтегрированы с надлежащим весовым множителем, обладают такими свойствами. Однако нелегко понять смысл ситуации иначе, как в рамках линеаризованной теории, где все прозрачно.
Рассмотрим теперь вопрос определения в явном виде общих решений линеаризованных уравнений поля. В весьма сходном случае электродинамики часто вводят калибровку Лоренца, Aa, а = 0, и затем ищут решения уравнений ? Aa = 0. Затем из этих решений выбирают те, для которых Aa, а = 0. Чтобы обойти этот последний 144
Статья 4. Р. С а к с
этап, можно ввести суперпотенциал Герца Hab. В этом случае ищут общее решение уравнения ? Hab = 0, и, полагая Aa = Hab, ь, получают (ввиду антисимметрии Hab) решение уравнений Максвелла. Но важно отметить, что с помощью этого приема, прибегая к суперпотенциалу Герца, можно найти не полностью все решения уравнений Максвелла. Действительно, предположим, как и выше, что ток локализован; тогда ? Hab = 0 только во внешней области R. Но если подставить получающееся в результате внешнее решение Aa в интеграл для заряда
е= ? dSabFab, (10.9)
DH
то на основании Aa = Hab, ь и ? Hab = 0 (в области R) можно заключить, что е = 0. Однако эта трудность оказывается не очень серьезной. Все, что нужно сделать для получения общих решений в области R,— это подсчитать результирующий заряд источников, подобрать потенциал Лиенара — Вихерта для этого заряда на некоторой временноподобной мировой линии внутри мировой трубки источника и затем прибавить сюда общее решение, полученное при помощи суперпотенциала.
Совершенно аналогичная ситуация имеет место и в линеаризованной теории. Действительно, предположим, что мы ввели «суперметрику» Mabcd1 обладающую симметрией конформного тензора:
Mabcd = Mlabl[cd] = Mcdab, Malbcdl = Mauib - 0, (10.10) и записали
? Mobcd = 0 в R, Yac = ^ab1M- (10.11)
Тогда справедливы следующие три положения: 1) Yab есть решение линеаризованных уравнений поля в R; 2) энергия — импульс и момент (10.8) для этого решения тождественно равны нулю; 3) если к решению (10.11) добавить линеаризованное поле Шварцшильда (обладающее ненулевой энергией) и некоторые известные в явном виде поля, обладающие моментом, то вместе такая сумма образует общее решение в области R. Первые два утверждения легко проверить явной подстановкой в (10.5) Гравитационное излучение
145
и (10.8). Доказательство последнего, третьего утверждения довольно трудно, и я сошлюсь просто на соответствующую литературу.
Можно, конечно, пойти дальше, раскладывая суперметрику в ряды мультиполей и получая таким путем явные выражения Yab и RabCd Для квадрупольных, окту-польных и т. д. волн. При этом обнаружится, что, как и в электродинамике, существуют поля мультипольного излучения «магнитного типа» и «электрического типа». Можно, кроме того, детально проверить теорему расщепления для запаздывающего излучения ограниченного источника. Мы не будем останавливаться на деталях этих вычислений, поскольку они весьма сходны с соответствующими вычислениями в электродинамике. В широком смысле слова любое вычисление, которое можно проделать в электродинамике, имеет аналог в линеаризованной теории; всякий раз, когда электродинамический расчет калибровочно инвариантен, соответствующий аналог в линеаризованной теории также калибровочно инвариантен. Конечно, в выражениях линеаризованной теории иногда фигурирует несколько добавочных индексов: так, аналогом одного интеграла для заряда служат десять интегралов (10.8), суперметрика имеет на два индекса больше, чем суперпотенциал Герца, а понятие ускорения заряда переходит в понятие относительных ускорений соседних пробных масс. Однако небольшой практики в линеаризованной теории достаточно, чтобы научиться угадывать нужные модификации. Пока мы удовлетворяемся линеаризованным приближением, теория излучения совершенно тривиальна.
Задачи
Задачи, отмеченные звездочкой,— трудные; отмеченные тремя звездочками не были, насколько мне известно, решены вообще, и их решение (если оно существует) составило бы, вероятно, солидную работу. Латинские цифры относятся к номеру лекции.
11.1. Допустим, что /а лежит на гиперповерхности t = const. Показать, что ее трехмерная ковариантная дивергенция имеет вид
/а _ ее ,a id
/|1Ь = 7;d«c«b-
10 Закаа N« 28 146
Статья 4. Р. С а к с
* II.2. Используя результат задачи II.1, вывести связь (2.8) между тензором Римана 4-пространства и тензором Римана и второй фундаментальной формой 3-про-странства.
II.3. Вычислить (Lefa)\\b — Le (/cVb) для /а, если fahba = fb такова, как в задаче 11.1.
III.1. Показать, что преобразования Лоренца, оставляющие фиксированным данное светоподобное направление, образуют четырехпараметрическую группу, описанную в лекции III.
** III.2. Найти разложение &a;i>;c> аналогичное данному в лекции III для ka; ь; какие части этого тензора имеют простые трансформационные свойства при изотропных поворотах [заметьте, что существенную роль играют только &а;(Ь;с)]?
