Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
III3 = O, (8.13)
(o-x)(o + 2x) = 0, (8.14)
(Н-х)2 (Hf 2и) = 0, (8.15)
(І-х)(І-х')(І + и + >с') = 0. (8.16)
(Уходя несколько в сторону, заметим, что, как известно, минимальное уравнение для матрицы тесно связано с ее жордановой нормальной формой; именно на основе рассмотрения жордановых нормальных форм были первоначально открыты классы Петрова.)
Здесь величины к и %' суть комплексные числа, единственным образом определяемые конформным тензором; они носят название скалярных инвариантов или собственных значений конформного тензора.
Пользуясь уравнениями (8.7)—(8.10), можно тривиально объяснить так называемые «теоремы сложения». Если при фиксированных gab и ка складываются два конформных тензора, то сумма по крайней мере столь же специальна (в смысле диаграммы Пенроуза), как наиболее общий из двух слагаемых. Таким образом, сложение тензоров классов N -J- III с одинаково кратными изотропными направлениями дает другой тензор класса III с теми же трехкратными изотропными направлениями и т. д.
Может возникнуть впечатление, что эти теоремы сложения представляют чисто алгебраический интерес; в действительности, однако, они служат алгебраической основой теоремы расщепления, которая будет рассмотрена в следующей лекции.
В своей оригинальной работе Пирани, основываясь на аналогии с электромагнитной теорией, высказал предположение, что поле гравитационного излучения имеет конформный тензор класса N (четырехкратное выро-
9*132
Статья 4. Р. С а к с
ждение главных изотропных направлений). Как было затем показано, плоским гравитационным волнам действительно соответствует конформный тензор класса N. Однако впоследствии выяснилось, что в любом достаточно общем случае конформный тензор является алгебраически общим (без вырождения по главным изотропным направлениям). Взаимосвязь между алгебраическим классом конформного тензора и излучением справедлива, как правило, только асимптотически в асимптотически плоском пространстве. В таком пространстве различные алгебраически специальные классы появляются как доминирующие члены при разложении тензора Римана в ряд по степеням 1 Ir. В частности, первый, порядка 1 Ir, член всегда относится к классу N.
Для описания члена порядка Ilr1 в подобном разложении искусственно создается дополнительный класс: говорят, что конформный тензор имеет геодезические лучи (и обозначают его как G), если по крайней мере одно из его главных изотропных направлений касательно конгруэнции изотропных геодезических. Как мы увидим, конформные тензоры с геодезическими лучами промежуточны по общности между конформными тензорами класса I и алгебраически специальными конформными тензорами всегда, когда Rab = 0.
Интересно проанализировать уравнение геодезического отклонения в специальном случае
Rabz= 0, Cabcd = Nabcd.
Дело в том, что подобный анализ предельно ясно показывает, в каком смысле асимптотическое поле от ограниченных источников состоит из поперечного излучения. Допустим, что мы имеем пробную частицу, движущуюся по геодезической с мировой скоростью Л причем еаеа = —1. Относительное ускорение соседнего пробного тела, удаленного от первого на бесконечно малый интервал уа (причем уаеа = 0), оказывается равным
(У?/); с = ? = BaAitfiVj*- (8-17)
При указанных выше ограничениях существует некоторое направление луча ка, определяемое как квадруполь-ное главное изотропное направление. Пусть za — Ika +Гравитационное излучение
133
+ е° (еакь)]1 (ескс) — единичная проекция направления луча на систему, свободно падающую вместе с первой частицей. Исходя из установленных раньше соотношений, найдем, что в такой свободной системе относительное ускорение в направлении оси z равно нулю; с другой стороны, в (поперечной) плоскости X, у мы имеем
Фиг. 10.
в общем случае суперпозицию двух состояний (фиг. 10). В асимптотически плоских полях амплитуды этих двух состояний даются действительной и мнимой частями C00.
IX. Теорема расщепления и алгебраически специальные поля
Теперь мы рассмотрим, как алгебраическая структура конформного тензора связана с поведением полей при перемещении от точки к точке в пространстве — времени. Главный результат, к которому мы придем, это так называемая теорема расщепления.
В наиболее общей форме, применимой к асимптотически плоским полям, рассмотренным в лекции IV, теорема расщепления утверждает, что тензор Римана таких полей (равный ввиду соотношения Rab — 0 конформному тензору) имеет вид
C = NIr + III/г2 + Ii/r3 + GZr1 + IIr5 + 0 (Г6). (9.1)
0 0 ООО
Индексы здесь не указаны; символы обозначают алгебраические классы, а индексы «0» под ними указывают тензоры, ковариантно постоянные вдоль лучей. Можно представлять себе поведение (9.1), говоря, что все четыре главных134
Статья 4. Р. С а к с
изотропных направления совпадают в приближении порядка 1 Ir, а затем отщепляются одно за другим. Член N про-
о
порционален C00 (и, 8, ф), что явным образом характеризует связь функции информации C0 с асимптотическим полем излучения. Аналогичные результаты справедливы для алгебраически специальных полей, причем их можно получить локально без каких-либо хитроумных граничных условий, вроде использованных в лекции IV; именно локальное исследование алгебраически специальных полей первоначально привело к пониманию асимптотически плоских полей. Теорема расщепления оказалась полезной также при сравнении различных подходов к асимптотически плоским ПОЛЯМ.