Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
*** 111.3. Ввести естественное понятие ковариантной производной на изотропной гиперповерхности и использовать его для выражения уравнений поля Rab = О в изящном виде.
IV. 1. Показать, что дополнительные условия выполняются всюду, если известно, что основные уравнения выполняются всюду, а дополнительные условия — на гиперповерхности г = const.
¦ _|*IV.2. Найти координатные преобразования, оставляющие координатные условия (но не обязательно граничные условия) инвариантными, имея в виду случай инфинитеземальных ^преобразований; найти трансформационные свойства величины V и других пяти переменных поля относительно допустимых преобразований.
V.l. Показать, 1) что две направленные в будущее светоподобные прямые в пространстве Минковского встречаются в одной и той же точке в бесконечности, если и только если расстояние d (АВ) между А на одной прямой и В на другой ограничено; 2) что в этом случае d (А, В) не зависит от А и В.
* V.2. Используя асимптотическую форму функции Грина для уравнения Шредингера — Клейна — Гордона, построить на некоторой окрестности точки начальные данные, определяющие единственное решение этого уравнения; проквантовать поле, задавая коммутаторы в точке /". Гравитационное излучение
147
* V.3. Повторить задачу V.2 для поля с нулевой массой покоя в пространстве Минковского, работая на гиперповерхности і-.
*** V.4. Обобщить задачи V.3 и V.4 на общерелятивистский случай.
*** V.5. Проанализировать подробно геометрическую структуру точек I0 и I+ для метрики Шварцшильда — Крускала и асимптотически плоских метрик, которые предложили Вейль и Леви-Чивита.
VI.1. Показать, что четырехпараметрическая группа лоренцевых трансляций является инвариантной подгруппой обобщенной группы Бонди — Метцнера.
* VI.2. Показать подробно, что допустимые преобразования даются^обобщенной группой Бонди — Метцнера, действующей на I+.
* VI.3. Найти трансформационные свойства начальных данных относительно обобщенных преобразований Бонди — Метцнера. Показать, что C0 преобразуется так же, как она преобразовывалась бы в лоренц-кова-риантной теории.
*** V 1.4. Найти неприводимые эрмитовы представления алгебры Ли обобщенной группы Бонди — Метцнера.
VII.1. Доказать, что любой спинор иА единственным образом определяет светоподобный вектор со спинорными компонентами иАив; обратно, любой действительный светоподобный вектор ка можно представить в такой форме.
VII.2. Представить в спинорной форме поворот в плоскости X, у; поворот в плоскости t, z; изотропный поворот.
* V11.3. Повторить вывод всех алгебраических соотношений, приведенных в лекции III, используя спиноры.
VI 1.4. Спинорные компоненты действительного антисимметричного тензора Fab суть FА~ю^ = 1Ii (флсе^ +
+ Эрм. сопр.) при подлежащем выборе фАВ = Фва-+
В таком случае F^^ = флс6^- Доказать это.
VII.5. Любой симметричный спинор фАВ может быть представлен в форме фАВ = 1I2 (uAvB + uBvA), где иА и Vb определены единственным образом (с точностью
10* 148
Статья 4. Р. С а к с
до численного множителя) как решение уравнения Фа вхАхВ = 0. Таким образом, фЛ в определяет единственный комплексный скаляр х. Доказать это.
VII.6. Используя тетраду &а, та, ta, найти аналогично тому, как это было сделано в лекции II, три антисимметричных тензора, образующих базис пространства тен-+
зоров Fab. (Указание: показать, что в качестве одного из этих трех тензоров можно взять тензор k[atb].) Используя эти результаты, найти тензорные аналоги всех результатов задачи VI 1.5.
VII.7. Выписать спинорную форму электромагнитного тензора натяжений.
** VI 1.8. Найти естественные аналоги результатам, полученным в задачах VII.4—VII.7, для тензора Римана ¦ffobcd, тензор Риччи которого RibIc равен нулю. (Эта задача содержит алгебраическую часть теории чистого излучения Петрова — Пирани и теории тензора Беля — Робинсона.)
VI 11.1. Выразить при помощи тетрады k, т, t пять
комплексных тензоров, образующих базис в пространстве +
тензоров Cabcd.
VI 11.2. Выразить скалярные инварианты тензора Вейля в спинорной форме.
VII 1.3. Проанализировать уравнение геодезического отклонения в случае, когда тензор Вейля относится к типу N и Rab = 0. В каком смысле относительное ускорение является поперечным?
*** VII 1.4. Провести естественным образом разделение тензора Вейля класса I на подклассы и, задавшись условием Rab = 0, систематизировать способы интегрирования для поля каждого подкласса.
* IX.1. Завершить доказательство теорем, приведенных в лекции IX.
IX.2. Показать, что метрическая форма
ds* = Re {А (х + iyf du2 + 2du dv + dx2 + dy2},
где A (и) — произвольная комплексная функция, есть решение уравнений поля типа N. Это решение носит название плоской волны; почему? Гравитационное излучение
149
IX.3. Найти преобразования координат, оставляющие инвариантной метрическую форму, приведенную в задаче IX.2. Исследовать связь этих преобразований с преобразованиями Лоренца и обобщенными преобразованиями Бонди — Метцнера.
