Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
XtaKg+ zx = 0. (9.15)
Таким образом, а; подчиняется уравнению (9.10) с N = 1. Подставляя это обратно в тензор Римана, находим
+ +
Cabcd = Cabcd (Z = 0), о
+ +
Cabcd = zCabcd (z Ф 0).
о
(9.16)
Для остальных классов вывод в основном сходен, но более сложен. Систематически применяя тождества Бианки (наиболее удобно это делать в спинорной форме) и при необходимости дифференцируя их до получения 138
Статья 4. Р. С а к с
уравнений вида (9.10), получим (индексы опущены)
C = II + іЯІІ 4- v2n (z = O)1 (9.17а)
оо о
С = NIv+ Ulfv2+ П/и3 (% = 1ф 0) (9.176)
ООО
[что следовало бы сравнить с выражением (9.1), имея в виду, что в этой метрике г = v] и, наконец,
С = zN + z2III + z3II + z4III' + z5N' (гфг). (9.17в)
0 0 0 0 0
Изложенный вывод несколько несистематичен. Так, в нем используются тождества Бианки в форме, являющейся следствием уравнений поля Rab = 0, но нет попытки систематически использовать сами уравнения поля. В некоторых из недавних весьма талантливых работ гораздо шире используются сами уравнения поля. Отправной точкой является выбор координатной системы (как и в лекции IV), приспособленной для конгруэнции лучей с равным нулю сдвигом; при этом известно, что такая конгруэнция существует. Затем интегрируются уравнения поля, начиная с основных уравнений. На этом пути Робинсон и Траутман сумели получить по существу явные решения для всех алгебраически специальных полей с Rab = 0в случае z = z Ф 0. Исчерпывающее резюме случаев z = 0 и Z = Z Ф 0 дали Кундт и Трумер, которые учли также многие результаты, касающиеся случая Rab Ф 0- Таким образом, законченного анализа недостает только для случая z Ф z. Но, судя по неопубликованным работам Keppa и Демьянского, этот последний случай тоже скоро будет исчерпан.
X. Теория возмущений и линеаризованная теория
В заключение я приведу некоторые сведения об основном приближенном методе, с помощью которого собственно и получают численные результаты для различных процессов. Я рассмотрю самое первое приближение этого метода —«линеаризованную теорию», в которой все вели- Гравитационное излучение
139
чины разлагаются в ряд около своих значений для пространства Минковского по некоторому формальному параметру разложения и при вычислениях удерживаются только первые члены после тех, которые относятся к пространству Минковского. Линеаризованная теория в большинстве отношений весьма тривиальна, но в некоторых случаях она позволяет получить определенное представление об интересных сторонах дела. Второе и более высокие приближения до сих пор рассматривались почти исключительно в связи с проблемой квантования поля; о них расскажет в своих лекциях проф. Де-Витт 1J.
Прежде чем перейти к линеаризованной теории как таковой, полезно ввести одну лемму о линейных возмущениях в произвольном пространстве — времени.
Пусть M есть невозмущенное многообразие, определяемое своей топологией и метрикой ds2. Последняя обычно задается тензором gab (з?) как функцией координат, введенных в каждой из координатных окрестностей, в своей общности покрывающих M целиком. В лемме рассматривается только некоторая отдельная координатная окрестность. Предположим, что M (q) есть однопараметриче-ское семейство многообразий, для которого M (0) = М. Предположим также, что в подходящих координатах метрический танзор gab (х°; q) является аналитической функцией переменной q вблизи q = 0. Мы можем произвести разложение
Аналогичные обозначения будут использоваться для всех остальных величин.
Общее преобразование координат в нашем случае имеет вид х'а = /а (хъ; q)\ удобно рассматривать такое преобразование как составленное из двух преобразований существенно различной природы: 1) преобразования х'а = f (хь) и 2) преобразования х'а = f (хь; q), для
1J Имеются в виду лекции Де-Витта в летней школе в Лез-Уш (см. [29]).— Прим. ред.
gab = gab + qgab + 0 (g2) s gab (xc; 0) + 0 1
(10.1) 140
Статья 4. Р. С а к с
которого /а (хь; 0) = ж". Преобразования первого рода можно интерпретировать как координатные преобразования на невозмущенном многообразии; они не вызывают каких-либо необычных трудностей. Интерпретация преобразований второго рода имеет более тонкий характер: допустим, мы приняли, что точка на возмущенном многообразии является «той же самой» точкой, что и точка на невозмущенном многообразии, всякий раз, когда эти две точки соответствуют одним и тем же значениям координат; тогда преобразования 1 оставляют это отождествление инвариантным, но преобразования 2 изменяют его совершенно беспорядочным образом.
Предположим теперь, что мы вычисляем возмущение тензора Римана, или любой его ковариантной производной, или, наконец, любой величины, построенной из таковых посредством рациональных алгебраических операций (включая, быть может, свертывание индексов). Пусть тензор T (индексы, если они имеются, опущены) есть подобная величина. Тогда наша лемма утверждает, что при преобразовании второго рода
T ^T + Lg (T), (10.2)
і і о
где ga = [dfa/dq]ge=o есть произвольное векторное поле на М. Таким образом, возмущение T единственно (и по-
