Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Нам понадобятся для дальнейшего спинорные кова-риантные производные. Различные явные формы кова-риантной производной спиноров можно найти в литературе к этой лекции. Здесь нам потребуются только следующие свойства такой производной; спинорная кова-риантная производная, обозначаемая как и опре-
деляется (единственным образом) следующими требованиями:
1. Она удовлетворяет обычным правилам для суммы и произведения.
2. Ковариантные производные тензора гАВ и т. д. равны нулю, так что операция спинорного ковариантного дифференцирования коммутирует с операцией свертывания по паре спинорных индексов.
3. Производная действительна, т. е.
и . . = (и. ) . .
а. . .в. . ., cd 4 а.. .в. . .'-,cd
4. Для эрмитова спинора (соответствующего таким образом некоторому тензору) спинорная ковариантная производная совпадает с тензорной ковариантной производной.
В любом пространстве справедливы тождества Бианки Rab [cd; е] = 0. Если свернуть их по одной паре индексов и принять, что Rab = 0, то получим Cf^cd — 0. Аналогично Cfabcd = 0. В спинорной форме тождества Бианки имеют вид
= (9-2) Гравитационное излучение
135
Теперь мы можем дать набросок доказательства следующей теоремы.
ТЕОРЕМА. Если Rab = Ob Cabcd Ф 0, то Cabcd относится к алгебраически специальному типу, если и только если пространство содержит конгруэнцию изотропных геодезических со сдвигом, равным нулю. В последнем случае вектор, касательный к такой конгруэнции, является главным изотропным вектором кратности больше 1.
Действительно, допустим, что конформный тензор алгебраически специален. Тогда он имеет вид
^abcd = VUwBUbUD), (9.3)
где vA и Wa могут, но не обязаны совпадать с иА. На основании (9.2) и (9.3) имеем
U0Uc. AhUA = O=ZUa (ИАИд). CDuC = иВ (uAuB); CDM° = 0" (9'4)
В тензорной форме соотношения (9.4) приобретают вид
ka,btatb = 0, (9.5а)
JcalbPhb = O, (9.56)
где Aa — изотропный вектор, описываемый иА, а А, т, t образуют квазиортогональную тетрадную систему. Теперь если Aa удовлетворяет соотношению (9.56), то, выбрав для него подходящий множитель, мы можем (и будем) требовать, чтобы
AfbA6 = O. (9.6)
Вследствие этого соотношение (9.5а) приобретает смысл условия отсутствия сдвига для данной конгруэнции, чем и завершается доказательство второй половины теоремы.
Теперь мы должны показать, то пространство, для которого Rab = 0 и сдвиг конгруэнции изотропных геодезических также равен нулю, является алгебраически специальным. Для этого мы прежде всего покажем, что вектор, касательный к такой конгруэнции, есть главный изотропный вектор тензора Римана. Действительно, на основании соотношений (9.5), выбирая без потери 136
Статья 4. Р. С а к с
общности <а; b kb = 0, ИМЄЄМ
= CabCikaUHbId г 2 Ub. [с; d{tbftd = - о, с kc - 2<tq = 0. (9.7)
С другой стороны, если а|), определенный таким образом, перевести в спинорную форму, то окажется, что
"Ф ~ ^AbcdUaUbU0Ud, где /с° ч—> иАй. — задаваемый Ua
в
изотропный вектор; сопоставляя этот результат с выводами предыдущей лекции, мы видим, что Ua есть главное изотропное направление. Труднее показать, что ка есть кратное главное изотропное направление; по поводу остальной части доказательства отошлем к литературе.
Нам понадобятся некоторые леммы о конгруэнциях с равным нулю сдвигом. Для любой изотропной конгруэнции мы имеем на основании предыдущих соотношений
¦1 ВаЬкакь = у [Ь; q кь = Z1X + z2 + сто. (9.8)
Предположим теперь, что Rab = 0ии = 0; при подстановке этого в уравнение (9.8) последнее перейдет в уравнение Риккати и может быть проинтегрировано через аффинный параметр вдоль лучей. Существуют возможности
а) z = 0,
б) (9"9) о
где % можно выбрать действительным подходящим обра-0
зом, подобрав начало отсчета для v. Поэтому, в частности, из Q = 0 вытекает, что © = 0. Предположим теперь, что у нас имеется произвольная величина х, удовлетворяющая уравнению
X, at?+ Nzc = O (N> 0, целое); (9.10)
тогда возможны два результата
а) X = X,
0 (9.11)
б) X = xzN
о
соответственно тому, какая возможность осуществляется, Z = O или г Ф 0, Гравитационное излучение
137
Вернемся к свойствам теоремы расщепления. Рассмотрим сперва простейший случай конформного тензора типа N. В этом случае спинорная форма конформного тензора есть
4abcd = uaubucud, (9.12)
откуда получаем тензорную форму +
Cabcd = k[atb-\k[ctd-\, (9.13)
где ка — главное изотропное направление и к, т, t — тетрада. Предположим теперь, что Rab = 0; тогда ка удовлетворяет соотношению (9.56). Изменим его масштаб так, чтобы он удовлетворял уравнению (9.6); в результате
конформный тензор можно будет перепйсать в виде +
Cabcd = xklatbjklctd], (9.14)
где x — некоторая комплексная функция точки.
Без потери общности можно выбрать ta допускающим параллельный перенос вдоль луча, поскольку форма (9.14) инвариантна относительно всех допустимых преобразований тетрады к, т, t. Применяя тождества Бианки (9.2) к форме (9.14) и умножая на tambtc, находим
