Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
х'а = Мхь + ъа (5.8)
найдем описанным выше путем, что на I+
7, _ xZ-f-X * ~ (iZ + v '
и' = K'1 (и -f- е°— є3 cos 9 — є1 sin 9 cos ф — є2 sin 0 sin ф). (5.9)
В дальнейшем нам понадобится рассматривать следующее более общее преобразование гиперповерхности I+:
"'=^-^ + 0(9,9)], (5-Ю)
где а — произвольная функция своих аргументов.
Группа (5.10) носит название обобщенной группы Бонди — Метцнера. Небольшое вычисление показывает, что и преобразования (5.10) и преобразования (5.9) оставляют поперечную конформную метрику гиперповерхности I+ конформно инвариантной.
VI. Асимптотические симметрии
Теперь нам предстоит исследовать преобразования, связанные с «асимптотическими симметриями». Они определяются как преобразования, сохраняющие координатные и граничные условия, данные в лекции IV для асимптотически плоского пространства. Сперва мы дадим набросок доказательства следующей теоремы:
1) любое преобразование асимптотической симметрии единственным образом характеризуется своим значением на i+; Гравитационное излучение
119
2) более того, на этой гиперповерхности преобразования асимптотической симметрии принадлежат обобщенной группе Бонди — Метцнера.
В настоящий момент факт, что в асимптотике мы имеем дело не с неоднородной группой Лоренца, а со значительно более широкой обобщенной группой Бонди — Метцнера, выглядит озадачивающе. Вообще в работе с асимптотически плоскими пространствами есть нечто сомнительное, так как действительная Вселенная (предположительно) не является асимптотически плоской. Но существовала надежда, что, рассматривая систему, границы которой достаточно велики по сравнению с неоднородностями и достаточно малы по сравнению с радиусом кривизны Вселенной, удастся найти разумные аналоги лоренц-кова-риантных результатов в рамках теории гравитации — прежде всего законов сохранения энергии — импульса и момента, а также того факта, что в пределе исчезающе малых гравитационных полей представления неоднородной группы Лоренца управляют миром элементарных частиц. Если же неоднородная группа Лоренца не является группой асимптотической симметрии для асимптотически плоских пространств, то все такие усилия, по-видимому, обречены на провал. Можно и нужно надеяться, что дело удастся как-то поправить, используя другие построения,— может быть, другие координатные условия или более полные граничные условия. Но я хотел бы заметить, что по моему мнению (а вопрос этот — крайне спорный) все предложенные до настоящего времени конструкции подобного рода совершенно не удовлетворительны.
Не исключено также, что более тщательное исследование точки на пространственной бесконечности приведет нас обратно к неоднородной группе Лоренца.
Для доказательства первой части теоремы мы прежде всего заметим, исходя из геометрического определения производной Ли, что при бесконечно малых преобразованиях координат х'а = ха + геа функциональное изменение любого тензора T дается величиной eZ/? (T). В частности, для метрического тензора
^e (gab) = %Є(а; b)•
(6.1) 120
Статья 4. Р. Сакс
Чтобы сохранить координатные и граничные условия лекции IV, мы поэтому должны иметь
ei;l = e<l;a) = <4?ga? = 0, (6.2)
ео;о = 0(г-1), е(0;„) = О(1), е(0; 1) = 0(1-"), в(а;р) = 0(г). (6.3)
Таким образом, для еа асимптотически должны выполняться уравнения Киллинга. Теперь можно явным образом проинтегрировать уравнения (6.2). Например,
ei:i = ei;i-eiriH = eI,1-2?jl = 0l (6.4)
и интеграл уравнений (6.4) есть
«! = /(«, Є, ф)е2Р, (6.5)
где /(м, 9, ф) —произвольная функция интегрирования. В пределе Г —> OO имеем
C1=/. (6.6)
Таким образом, et (г, и, 0, ф) единственным образом определяется своим значением на i+. Поступая аналогичным образом с другими уравнениями (6.2), мы приходим к доказательству первой части теоремы в случае бесконечно малых преобразований. Если теперь учесть также условия (6.3), то мы найдем, что на I+ инфинитезимальные преобразования должны иметь форму (5.10) с бесконечно малыми а и Л (что подробно обсуждается в литературе к этой лекции). Этим завершается доказательство для инфинитезимальных преобразований; конечные преобразования можно затем построить из инфинитезимальных (первоначально были непосредственно получены конечные преобразования, но этот путь требует чрезвычайно громоздких вычислений).
Интуитивное основание того, почему в асимптотике мы приходим к обобщенной группе Бонди — Метцнера, довольно просто. В любом асимптотически плоском пространстве инфинитезимальное преобразование из обобщенной группы Бонди — Метцнера, заданное на i+, можно спроектировать обратно к конечным значениям г при помощи уравнений, подобных (6.5) и (6.6). При этом, если в пространстве Минковского данное преобразование Бонди — Метцнера не является лоренцовым, то, конечно, Окажется, что получающиеся в результате значения еа син- Гравитационное излучение
121
гулярны при некоторых конечных г Ф 0. Но в искривленном пространстве — времени нельзя подобным образом выделить лоренцовы преобразования, так как в этом случае даже преобразования Лоренца на i+, будучи спроектированы обратно к малым г, порождают сингулярности. Добавочные координатные сингулярности, которые мы вносим с произвольными преобразованиями обобщенной группы Бонди — Метцнера, ничуть не хуже тех, корне неизбежно вносит общая геометрия. Вряд ли можно надеяться, что положение удастся поправить путем перехода к другим координатным соглашениям. Например, часто утверждается в качестве естественной теоремы, что гармонические координаты с надлежащими граничными условиями в надлежащем асимптотически плоском пространстве определены единственным образом с точностью до преобразования Лоренца. В двух частных случаях — как раз в тех, для которых эта теорема считается естественной, — именно, в отсутствие гравитационного излучения, приходящего через I-, и в отсутствие излучения, уходящего через i+, теорема действительно довольно разумна. Но никто не утверждает, что она справедлива в общем случае, когда присутствуют как приходящие, так и исходящие гравитационные волны; в этом общем случае, я думаю, она совершенно невероятна.
