Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
xa = ca + eas, eaea = l, S —> со. (5.3)
Мы видим, что образ I+', полученный преобразованием (5.1), представляет как раз начало координат, х'а = 0. Гравитационное излучение
115
Поэтому все направленные в будущее временноподобные линии заканчиваются в одной и той же точке 7+. Аналогично все пространственноподобные линии оканчиваются в одной точке 7°, а все направленные в прошлое временно-подобные линии оканчиваются в точке 7~. На самом деле, согласно построению, все три точки 7+, 7° и 7~ переходят под действием (5.1) в начало координат, так что все их можно было бы считать одной. Однако это неудобно. Мы будем считать их тремя различными точками; именно это понималось под словами «за исключением некоторых определенных отождествлений» в приведенном выше основном требовании конформной ивариантности.
Нетривиален случай светоподобной линии. На основании (5.1) легко видеть, что образы конечных точек свето-подобных бесконечных полупрямых лежат где-то на световом конусе, проходящем через начало координат. Здесь вновь существуют определенные отождествления: два конца бесконечной светоподобной линии имеют фактически один и тот же образ.
Посредством некоторых ухищрений возможно (и удобно) снять отождествление. При этом нужно следовать такой схеме: концы всех направленных в будущее светоподоб-ных линий лежат на одной части бесконечности, скажем i+, а концы светоподобных линий, направленных в прошлое, лежат на другой части бесконечности, і". Легко затем показать, что две направленные в будущее светоподобные прямые оканчиваются в одной и той же точке, если и только если
1) их касательные векторы пропорциональны и
2) они обе лежат на одной и той же светоподобной гиперповерхности.
Таким образом, мы приходим к следующей картине бесконечности в пространстве Минковского. Она состоит из трех точек 7°, I' и 7+, светоподобной трехмерной гиперповерхности I+ между 7° и 7+ и другой светоподобной трехмерной гиперповерхности I- между 7~ и 7° (фиг. 7).
Затем Пенроуз в качестве определения того, что искривленное пространство асимптотически плоско, берет положение, что пространство, рассматриваемое конформно, обладает бесконечностью той же самой структуры, которая только что была охарактеризована. Гиперповерхно-
8* 116
Статья 4. Р. Сакс
сти і+ и і" должны быть несингулярными, но I~, I0 и I+ в любом разумном общем случае, по-видимому, сингулярны. Замечательно, что этого явно слабого и вполне геометрического требования оказалось достаточно для получения всех стандартных свойств асимптотически плоских пространств.
Следующее замечание устанавливает соответствие этих представлений с нашими предыдущими рассуждениями.
I+
Г
Ф и г. 7.
При г = оо и, 0, ф можно считать гладкими координатами гиперповерхности I+, где J+ соответствует U = OO, a J0 соответствует и = —оо. Гиперповерхность и мы не будем рассматривать в явном виде.
Отметим, что в этом описании любое слабое поле с нулевой массой покоя (включая гравитационные волны) входит в пространство через гиперповерхность і" и покидает его через гиперповерхность I+. Поля с ненулевой массой покоя, напротив, входят в пространство через и покидают его через /+. Гравитационное излучение
117
Это наводит на мысль, что можно было бы квантовать поля, образуя коммутаторы на г и Для полей с нулевой массой покоя, включая гравитационное, эта схема, по-видимому, работает; поля же с ненулевой массой покоя подобным образом не рассматривались.
Легко вычислить поперечную конформную метрику гиперповерхности I+ в пространстве Минковского. На самом деле любая гиперповерхность г = const в силу уравнения (4.5) имеет метрику
Рассматривая метрику только конформно, можно разделить ds2 на г2 и затем перейти к пределу при г = оо; для I + мы найдем поперечную конформную метрику в виде
Исходя из требований (4.6), мы видим, что выражение (5.5) остается справедливым даже в асимптотически плоском пространстве, за исключением, быть может, точек I+ и /°; эти две точки все еще принадлежат бесконечному значению координаты и = ± оо, так что исследование их в наших координатах затруднено. О качественном поведении поля вблизи этих точек в настоящее время известно очень мало.
Для дальнейших ссылок удобно выяснить теперь, как действуют на I+ преобразования Лоренца в пространстве Минковского. Допустим, что координаты пространства Минковского подвергаются однородному преобразованию Лоренца х'а = Alxb, где
(1Iab — метрика Минковского). Мы можем вычислить действие этих преобразований на i+, вводя изотропные сферические координаты г, и, 6, <р и переходя к пределу
при г —> оо. Тогда на I+ найдем (обозначив Z == ctg (0/2) е*ч>)
ds2 = du2 — r2 (d02 + sin2 8 dtp2).
(5.4)
dB2 + sin2 8 d ф2.
(5.5)
Л^ЛйЛаЬ = Чаї
(5.6)
(5.7) 118
Статья 4. Р. Сакс
Здесь К — функция от 9 и ф, полностью определяе-
1% JiA
мая значением комплексной матрицы ^ I ; ее точная
форма, которую можно найти в литературе к этой лекции, не существенна для нашего изложения. Восемь действительных величин ^ , подчиняющихся двум заданным действительным условиям, полностью описывают шестипараметрическое множество однородных лоренце-вых преобразований (и представляют, как мы увидим позднее, спинорную форму преобразований Лоренца). В более общем случае неоднородных преобразований Лоренца
