Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
ЛЕММА. Пусть основные уравнения везде выполняются. Тогда
1) тривиальные уравнения также справедливы всюду
и
2) дополнительные условия справедливы всюду, если они справедливы хотя бы в одной точке каждого луча.
Докажем утверждение 1. Прежде всего имеем: Gb; а = == 0. Используя тот факт, что основные уравнения удовлетворяются, а также данное в лекции III расщепление ка< ь, находим, что
0 = А°< ь = - Aai bGab = -2QGabtatb. (4.2)106
Статья 4. Р. Сакс
Но поскольку мы предполагаем, что Q Ф 0, тривиальное уравнение, следовательно, тождественно удовлетворяется. Аналогично можно доказать утверждение 2. Таким образом, мы опять можем начинать с интегрирования основных уравнений и лишь затем переходить к вопросу о дополнительных условиях.
Чтобы идти дальше, мы можем вновь построить подходящую жесткую координатную систему. Выберем в качестве координаты х° запаздывающее время х° = и. Пусть г = Xх — яркостный параметр вдоль лучей, и пусть ха (а, ? = 2, 3) — любые другие две координаты, постоянные вдоль лучей. Опираясь на изложенные выше геометрические соображения, мы заключаем, что метрика в этих координатах принимает вид
ds2 - W da2 -j- 2e2? du dr — r2hay (dxa — Ua du) (dxv -Uy du), W, ?, hay, Ua = Функции xa. (4.3)
Поскольку г — яркостный параметр, детерминант hvlx должен не зависеть от г. А так как яркостный параметр определен лишь с точностью до множителя, постоянного вдоль каждого луча, то без нарушения общности можно потребовать, чтобы
2hllv dxі» dxv = (e2v + e2S) dB2 + 4 sh (y — 6) d0 dxp sinO +
+ (sin 0)2(e-2Y + e-2 Vcp2> в = x2, q> = X3. (4.4)
Таким образом, метрика (4.3) содержит всего шесть неизвестных функций от четырех переменных, и координатная система оказывается достаточно жесткой для наших целей.
Поле анализируют либо в окрестности некоторой точки, либо «вблизи бесконечности» в асимптотически плоском пространстве. Мы выполним анализ поля на бесконечности и затем изложим без доказательств результаты локального анализа, как они приводятся в литературе. Еще со времени оригинальных работ Фока и Траутмана вызывал определенные затруднения вопрос о том, как достаточно ясным и изящным образом ввести условия того, что пространство — время в асимптотике приближается к пространству Минковского. Этот вопрос теперь наконец разрешен Пенроузом [19]. Мы используем условия, более явные, менее изящные и более жесткие, чем условия Пен-Гравитационное излучение
107
роуза. Однако они воспроизводят его основные идеи и результаты. Если в пространстве Минковского использовать запаздывающее время и = t — г и сферические координаты Г, 0, ф, то линейный элемент будет иметь вид
ds2 = du2 + 2 du dr — г2 (dQ2 + sin2 0 гіф2). (4.5)
Таким образом, естественно потребовать, чтобы для асимптотически плоских полей выполнялись требования
IimW= 1, Iim(rUa) = lim? = Iimб = Iimу = 0, (4.6)
где знак lim означает предел г —оо при фиксированных и, 0, ф. Менее естественным и в действительности излишне ограничивающим выбор является второе требование, именно, чтобы все представляющие интерес величины допускали разложение в ряд по (1/г), например
(1 + = е' ф) I d(u, в, (р) J ^ ^
(где комплексная комбинация слева введена из соображений последующего удобства). Я упомяну два вывода из чрезвычайно обширного обсуждения зтого второго требования в литературе: во-первых, оно может быть сильно ослаблено, но не исключено полностью; во-вторых, оно тесно связано с условием зоммерфельдовского типа для расходящихся волн. Разумеется, все эти требования и соглашения теряют силу, когда г становится малым и лучи начинают пересекаться.
Теперь предстоит решить в лоб уравнения поля; конечные результаты столь громоздки, что мы приведем здесь только частный их вид для случая, когда имеют место аксиальная симметрия и симметрия относительно отражений. В этом случае, рассмотренном Бонди,
б = у, = -0If = O,
и направление ф есть ортогональное к некоторой гиперповерхности направление Киллинга. Метрика упрощается до вида
ds2 = du2 + 2e2? du dr —
— r2 [e2Y (de — Udu)2 + e-2Y Sin2 0 гіф2], (4.8)108
Статья 4. Р. Сакс
где специальная форма первого коэффициента выбрана из соображений дальнейшего удобства.
Два из основных уравнений обращаются в нуль тождественно, а остальные четыре являются линейными комбинациями выражений
- 2rmiZ = [^e2(Y-P)CZili _ 2г» ( _ Y12 + 2YiY2 - 2Yi ctg 0 +
?22e 2(?-v) _ r2/?33e2? = ZV1 + у r*e 2(v-?)C/i2 -
- r2Ui2, — ArU2-T2U1 ctg Є — 4rU ctg 0 + 2e2<?-v) [?22 +
+ K-I- (3y2 - P2) ctg 0 + 2Y2 (Y2 - ?2)l = 0, (4.11)
- T2R3Vp = r2 (ry)oi + (1 - ryi) V1 - (''Yn M- Yi) V -
- r (1 - rYl) U2 - r2 (ctg 0 - Y2) U1 + r (2rYl2 + 2Y2 +
+ TY1 ctg 0 — 3 ctg 9) U + e2®-Y> [ — 1 — (3y2 — 2?2) ctg Є —
- Y22+ 2Y2 (Y2-P2)I = O. (4.12)
Первые три из них, поскольку они не содержат производных по и, носят название уравнений гиперповерхности, а последнее называется стандартным уравнением.
Предположим теперь, что величина у задана для некоторого значения и. Тогда уравнение (4.9) и граничные условия (4.6) определяют ? единственным образом. Затем уравнение (4.10) и граничные условия определяют U с точностью до появляющейся при интегрировании произвольной функции —6iV (и, 0), которую можно добавить к r4e2('v-?v)c/1. Уравнение (4.11) определяет V с точностью до аддитивной функции —2M (и, 0); наконец, уравнение (4.13) определяет Yo с точностью до аддитивной функции со (и, 0)/г. Мы можем затем продифференцировать уравнения (4.9)—(4.12) по и и повторить всю процедуру снова. Другими словами, при заданном в некоторый момент у основные уравнения позволяют определить будущее (или прошедшее) с точностью до указанных трех произвольных функций интегрирования. Вернемся