Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Один из нерешенных вопросов в проблеме начальных характеристик состоит в том, появится ли что-нибудь новое, если данные и (или) решение не будут аналитическими функциями надлежащим образом выбранных координат. Действительно, при анализе уравнений (4.9) — 112
Статья 4. Р. Сакс
(4.12) мы не только предполагали аналитичность по 1 Ir, но, кроме того, неявно предполагали и аналитичность по и. Я не подчеркивал этого момента, потому что его считают неинтересным. Принято думать, что в неаналитическом случае не произойдет ничего катастрофического. Однако было бы спокойнее, если бы кто-нибудь выполнил для проблемы начальных характеристик анализ, который Шоке дал для обычной проблемы начальных значений.
У. Гиперповерхность на бесконечности и обобщенная группа Бонди — Метцнера
В асимптотически плоском случае дополнительные условия, рассмотренные в предыдущей лекции, имеют некоторые своеобразные черты. В исходном виде они задаются соотношениями, содержащими функции четырех переменных. Однако после интегрирования основных уравнений с использованием граничных условий они вследствие доказанной нами леммы каким-то образом превратились в соотношения на гиперповерхности г = = const, т. е. соотношения между функциями трех переменных и, 9 и ф. Поскольку в наших рассуждениях единственной выделенной из всех гиперповерхностей г = const является гиперповерхность г = оо, хотелось бы как-то выразить тот факт, что эти соотношения должны удовлетворяться только на «гиперповерхности на бесконечности». В уже упоминавшейся статье Пенроуз систематизировал эти представления. Не входя полностью в детали его исследования, мы дадим очерк основных моментов, посвятив этому настоящую лекцию.
Рассмотрим пространство Минковского. Примем идею, что точки «на бесконечности» следует понимать как предельные точки прямых линий — в том смысле, что каждая прямая линия оканчивается где-то на бесконечности. Чтобы далее конкретизировать картину, введем следующее требование: за исключением некоторых определенных отождествлений, все пространство Минковского (включая бесконечность) должно быть конформно инвариантно относительно инверсии Гравитационное излучение
ИЗ
Эта идея заимствована из элементарной геометрии. Если мы хотим включить бесконечность в конечную картину, то
нужно как-то сжать геометрию, а это предполагает, что ее следует рассматривать только конформно.
Чтобы представить себе, что это означает, рассмотрим простой случай двумерного пространства Минковского
Г
I
Ф и г. 6.
с метрикой ds2 = dt2 — dx2. Если ввести новые координаты и, V соотношениями U = t + X, V = t — х, то метрика приведется к виду ds2 = dudv. Теперь конформные преобразования в двух измерениях даются просто аналитическими функциями комплексного переменного; в нашем случае это значит, что преобразования конформны тогда и только тогда, когда и' = f (и), v' = g (v), где / и g — любые гладкие функции. Если, в частности, выбрать и = tg и' и V = tg г/, то все двумерное пространство Минковского с конформной метрикой du'dv' можно изобразить (с точностью до произвольного множителя) на конечном чертеже (фиг. 6). Легко проверить следующее
8 Заказ № 28 114
Статья 4. Р. Сакс
свойство этого чертежа. Светоподобные прямые остаются прямыми и на фиг. 6; все они начинаются на г и кончаются на i+. Временноподобные прямые переходят в кривые, начинающиеся в и оканчивающиеся в Четырехмерная картина, как мы скоро увидим, совершенно аналогична, но в случае четырех измерений конформные преобразования находятся с трудом, и одним из следствий их редкости является то, что в случае четырех измерений нельзя найти какую-либо одну координатную систему (вроде рассмотренной выше системы и', v'), покрывающую гладко все пространство. Обычные координаты покрывают лишь конечные области пространства — времени; штрихованные координаты переводят большую часть точек, лежащих на бесконечности (но не все) в области, где мы можем их рассматривать, но соответственно переносят на бесконечность некоторые конечные области. Разумеется, тот факт, что пространство невозможно гладко покрыть какой-либо одной координатной системой, вовсе не означает сингулярности пространства. (Двумерную поверхность сферы тоже невозможно гладко покрыть какой-либо одной системой координат, тем более парой координат, ограниченных некоторыми добавочными свойствами конформной однородности.) Стоит напомнить еще один момент двумерной картины, именно, что в бесконечности мы имеем: dudv = oodu'dv'. Интуитивно это очевидно: для того чтобы бесконечность вместить в конечную картину, на бесконечности требуется бесконечное сжатие.
Преобразование (5.1) является конформным, так как idti-d^-d^-d*) = _dx,2_dy,2_dz,2 (5 2)
Заметим прежде всего, что под действием (5.1) световой конус, проходящий через начало координат, переходит на бесконечность; поэтому бесконечность должна быть свето-подобной. Рассмотрим затем направленную в будущее временноподобную бесконечную полупрямую, заканчивающуюся в некоторой точке, скажем I+', на бесконечности. Ее уравнение имеет вид
