Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
= IlGl ¦ (2.15)
где fa — некоторые величины, связанные с символами Кристоффеля. Соотношения (2.15) можно рассматривать как систему обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль каждой еа-линии в отдельности; поэтому решение этих уравнений единственным образом определяется заданием Gal(ха, 0) и (xv, t) во всех точках. Но в действительности Giixa, 0) = 0, и единственное решение системы
(2.15) поэтому есть Gia = 0. Собирая вместе результаты, мы получаем теорему:
ТЕОРЕМА. Пусть H — трехмерное пространство с положительно определенной метрикой а Ка$ — симметричный тензор, определенный в этом 3-пространстве и подчиняющийся уравнениям связей (2.12). Тогда существует одно и только одно пространство — время с Gb = 0, которое имеет изометричное H трехмерное подпространство с Ка$ в качестве его второй фундаментальной формы.
Отметим, что в окончательной формулировке исчезли все ссылки на гауссовы нормальные координаты — они использовались только для упрощения доказательства. 94
Статья 4. Р. Сакс
Мы теперь можем, по крайней мере грубо, подсчитать число степеней свободы. Действительно, на H заданы 12 функций от трех переменных и Ka^. Они, однако, подчиняются четырем уравнениям связей (2.12), уменьшающим их число до восьми [конечно, при интегрировании уравнений (2.12) в решения проникнут некоторые произвольные функции от двух переменных, но в данный момент нас беспокоят не они, а произвольные функции трех переменных]. Из восьми оставшихся величин три (скажем, три недиагональных элемента тензора ga?) можно было бы привести к некоторым стандартным значениям (например, к нулю) с помощью координатного преобразования (2.1). Из оставшихся пяти величин одну (например, uf„) можно обратить в нуль или привести к некоторому выбранному значению посредством подходящего выбора Н. Это оставляет нам для дальнейшего анализа только четыре независимые функции трех переменных — в этом смысле гравитационное поле имеет две степени свободы. Такого результата и следовало ожидать, поскольку в лоренц-ковариантной теории любое свободное поле с нулевой массой покоя (исключая скалярное поле) имеет две степени свободы.
Изложенные соображения показывают в принципе, как волны эволюционируют во времени, но оставляют еще неясными многие моменты. В частности, нетрудно решить уравнения (2.12). Профессор Уилер как раз обсудил некоторые очень интересные работы Принстонской группы по уравнениям связей. Но несмотря на то что степеней свободы всего две, естественное геометрическое и физическое определение того, какие именно элементы начальных данных независимы, очень трудно. По аналогии с электродинамикой хотелось бы расщепить поле на две поперечные компоненты и некоторые дополнительные продольные временноподобные компоненты. Такое расщепление действительно было проведено, но оно не локально и поэтому с геометрической точки зрения довольно неуклюже.
Из множества полученных в последнее время важных результатов по обычной проблеме начальных
1J Речь идет о лекциях Уилера в летней школе в Лез-уш (см. сборник [29]).— Прим. ред. Гравитационное излучение
95
значений три представляют особый интерес для теории излучения. Во-первых, Брилл показал, что в некоторых специальных случаях асимптотически плоских полей, всюду лишенных источников, полная энергия поля, оцененная по (активной) гравитационной массе, положительно определенна на бесконечности. Арновит, Дэзер и Миз-нер обобщили его результаты на наиболее общее асимптотически плоское лишенное источников поле с повсюду евклидовой топологией. Эти результаты были получены путем анализа уравнений связей в один момент времени.
Аналогичные результаты были получены Бриллом и другими даже в некоторых неевклидовых топологиях. Во-вторых, расщепление, данное Арновитом, Дэзером и Миз-нером для начальных значений в асимптотически плоском топологически евклидовом случае, «асимптотически локально», т. е. асимптотические значения расщепленных величин зависят только от асимптотических значений начальных данных. В-третьих, ряд авторов (среди них Дирак, Андерсон, Арновит, Дэзер и Мизнер, Бергман и Комар и другие) развили канонический формализм для гравитационного поля, показывающий, хотя и несколько нечетко, как гравитацию можно включить в обычную лоренц-ковариантную теорию полей.
Во всех этих исследованиях поле анализируется на пространственноподобной гиперповерхности t = О или вблизи от нее. В последующих лекциях мы будем иметь дело главным образом со светоподобными гиперповерхностями, особенно со светоподобной «гиперповерхностью на бесконечности». Одна из наиболее трудных, интересных и мало разработанных математически проблем классической теории поля заключается в том, как связать различные результаты, полученные для обычной проблемы начальных значений, с результатами, касающимися све-топодобных гиперповерхностей.
3O Р. Сакс пользуется термином светоподобнмй (lightlike) вместо обычного изотропный, или нулевой. Мы сохранили эту особенность в переводе, поскольку смысл термина совершенно прозрачен.— Прим. ред. 96
