Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Задание gab и его первых производных по времени в какой-то один момент времени, очевидно, еще не определяет форму gab{z°) во все будущие времена: ведь всегда можно осуществить координатное преобразование, никак не изменяющее начальной гиперповерхности или начальных значений, но меняющее функциональную форму Гравитационное излучение
87
gabipF)- Фактически функциональная форма gab(Xе) содержит информацию не только о физической ситуации, но также и о конкретных особенностях используемой системы координат.
Бесспорно, физическая ситуация в данный момент полностью определяет развитие физической картины в будущем, как того и следовало ожидать; но, чтобы выявить этот факт, мы должны каким-то образом избавиться от посторонних моментов, возникающих вследствие произвола в выборе координатной системы. Наша процедура будет аналогична введению кулоновской калибровки в электродинамике.
Для дальнейшего изложения нам понадобятся некоторые сведения из геометрии.
ЛЕММА 1. Если дано произвольное временноподобное векторное поле еа(хь), то всегда можно найти по крайней мере одну систему координат, такую, в которой еа = 6j.
Действительно, проводя линии, к которым еа(хь) касательно, можно положить еа ~ OJ, просто выбирая в качестве первых трех координат величины, постоянные вдоль каждой линии. Например, первые три координаты могут быть числами, нумерующими линии в семействе; соответствующим преобразованием четвертой координаты t = X4 можно тогда получить еа = 6J.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производная Ли от некоторой тензорной плотности T (индексы не пишем) по отношению к еа, обозначаемая как Le (T), есть величина, обладающая двумя свойствами:
1) в любой координатной системе, удовлетворяющей лемме 1, имеем LeT = dTldt\
2) под действием общих преобразований координат Le(T) преобразуется как тензорная плотность того же рода, что и Т.
Таким образом, если мыслить линии, касательные к еа, как линии времени, то Le будет естественным аналогом производной по времени.
Необходимо проверить самосогласованность данного определения, показав, что при переходе от одной из координатных систем, определенных в лемме 1, к любой другой такой системе, Le(T) автоматически имеет пра- 88
Статья 4. Р. Сакс
вильные трансформационные свойства. На основании данной нами геометрической картины заметим, что допустимые преобразования суть
z'« = /«(z?), t' = t + g(^) (et, ? = l, 2, 3) (2.1)
с произвольными /а и g; небольшое вычисление теперь докажет, что самосогласованность имеет место. Как показал в своих лекциях профессор Гюрши 1J1 для тензора Tab--Cd... имеем
Le ('/'"' • ..) -•- Ta • 'я. ..-je -- T1-¦ 'с., Ca-J -... ;
+ Ta-• . У;0+ ...= Ta-с____у — Tf- ¦ -с.. У,/-
у,„+.... (2.2)
Введем затем понятие гауссовых нормальных координат. Пусть мы имеем трехмерную пространственноподоб-ную гиперповерхность Н. Проведем геодезические перпендикулярно H (они определены единственным образом). Пусть еа — единичные векторы, касательные к этим геодезическим. Тогда координаты, определенные леммой 1, называются «гауссовыми нормальными» координатами для данной гиперповерхности H (мы, конечно, требуем дополнительно, чтобы H была гиперповерхностью t — 0; тогда в уравнении (2.1) g = 0). Таким образом, гиперповерхность t — const единственным образом определяется гиперповерхностью Н. Отметим, что гауссовы нормальные координаты жестко фиксированы во времени; по зтой причине они удобны при анализе уравнений поля.
В каждой точке H линии, к которым еа касательны, ортогональны к Н. Мы теперь покажем, что то же самое справедливо для гиперповерхности t = const, отвечающей более позднему моменту времени t. Действительно, рассмотрим какой-либо вектор 8ха, лежащий на гиперповерхности t = const Ф 0. Интерпретируем его геометрически как вектор, соединяющий две' еа~линии, выделяемые ха и ха -J- 6хР. Рассмотрим теперь векторы bx?(t), лежащие на гиперповерхностях t = const и соединяющие те же самые еа-линии (фиг. 1).
*) Речь идет о лекциях Гюрши в летней школе в Лез-Уш (см. рборяик [29]).— Прим. ред. Гравитационное излучение
89
На основании геометрического определения производной Ли, рассмотренного Гюрши, имеем
Le (бжа) = 0 =ф Le (8хаеа]) = 0. (2.3)
С другой стороны, при t = 0 имеем бхаеа = 0 по построению. Комбинируя этот факт с (2.3), видим, что гиперповерхность t = const везде ортогональна еа-линиям. В гауст совых нормальных координатах
8xaebgab = ox"gal = 0
(для произвольного бха) и, кроме того,
eaebgab = gi4= — 1.
Таким образом, метрический тензор в этих координатах содержит только шесть неизвестных функций: ds2 = = ga$dx?dxP — dt2, В процессе устранения координатных 90
Статья 4. Р. Сакс
степеней свободы мы свели число переменных поля с десяти до шести; существуют многие другие виды координатных систем, обладающих аналогичным свойством жесткости, причем всегда обнаруживается, что удаление из допустимых координатных преобразований четырех произвольных функций от четырех переменных [пока не будем беспокоиться о функциях трех переменных, вроде фигурирующих в (2.1)] одновременно позволяет устранить четыре компоненты метрического тензора.
