Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Существует еще одно важное свойство гауссовых нормальных координат, присущее, на мой взгляд, также и другим таким же жестким координатным системам (многие из моих коллег не согласны с этим мнением). Возьмем некоторое пространство — время. В нем мы ищем наиболее гладкую (в некотором интуитивном смысле) гиперповерхность Н, какую только можно найти, и строим соответствующие гауссовы координаты; они сами гладки в том смысле, что для плоской H в плоском пространстве гауссовы координаты определяют как раз лоренцеву систему. Райчадхури и Комар показали, что, несмотря на эту гладкость, гауссовы координаты будут, вообще говоря, порождать координатные сингулярности — точки, где пространство — время остается гладким, но линии, к которым касательны векторы еа, начинают пересекаться. Я полагаю, что в общем случае рассматриваемого типа любая жесткая координатная система будет давать аналогичные патологии; например, я бы предположил (хотя это и не доказано), что гармонические координаты, а также и координаты Арновита — Дезэра — Мизнера где-то ведут к аналогичному затруднению.
Гиперповерхности t = const имеют внутреннюю метрику
^ab = gab + ЄцЄь,
записывающуюся в гауссовых координатах как
Aa? = ?a?> Kk = 0. (2.4)
Заметим, что Aab и —еавь суть операторы проектирования для 3 + 1-мерного расщепления, определяемого гауссовыми координатами:
h* = h, (-ее)г=(-ее), h (ее) = 0. (2.5) Гравитационное излучение
91
Величина
Kab = — (jr) Le (Aab) = — (JL) (ea; Ь + о) = — Єа; Ь (2.6) в гауссовых координатах имеет вид
^ap=-(I) T' ^4 = 0' (2Л)
и носит название второй фундаментальной формы гиперповерхности t = const. На основании уравнения (2.1) мы отметим, что Kafi ведет себя как тензор в 3-про-странстве.
После этих предварительных замечаний вернемся к уравнениям поля. [Начиная с этого момента, я буду все выкладки и формулы записывать в гауссовых нормальных координатах; результаты можно легко перевести обратно на четырехмерный язык так же, как (2.7) преобразуется в форму (2.6).] Согласно классической теореме дифференциальной геометрии (см. книгу Схоутена [6]),
тензор Римана R^cd для четырехмерного пространства следующим образом связан с тензором Римана Sffi вложенного трехмерного пространства:
=5$+^vrpV1, (2.8а)
i?\v=+2tf?[liiiv], (2.86) г)
-Rft=(2.8в)
Здесь символ Il в индексе означает ковариантное дифференцирование по отношению к метрическому тензору трехмерного пространства, а квадратные скобки — полную антисимметризацию, например
^[abc]=(j) (Tabc- TbacjT Цикл, перестановки abc).
Уравнения (2.8) можно проверить, например, в лоб, используя уравнение (2.5); можно также использовать другие методы. Для примера мы выведем уравнение (2.8в). Из основного определения тензора Римана следует, что
еаRabCd — 2,ЄЬ; [с; <i]- 92
Статья 4. Р. Сакс
Поэтому, используя равенство еа;Ьеь = 0, получаем
RdabcedеС = еа;Ь-сес — еа; с-, ьес= (2.9)
= Le (еа; ь) — 2еа; сес; ь + еа; сес- ь = Ье (еа; ъ) — еа; сес; ь. (2.10)
Если теперь ввести гауссовы нормальные координаты, то из уравнений (2.9) и (2.10) и выписанных ранее соотношений найдем
^4a4? = Ч--J^+KvK?, (2.11)
что и требовалось доказать.
Пусть Gab = Rab—(1Zz)R есть тензор Эйнштейна четырехмерного пространства (R—скаляр Риччи). Тогда в силу (2.7) и (2.8) уравнение Gt = O означает, что
G^ = KvllJjv- Zvv пи = 0, I
Ck_ 1 іvv^V JrvIfi1 с\ _ п { (2.12)
anv — лулд-о) = и, j
/А Л А ді/tt .
- « ( J S +1 KlKtt +1-К"Km--jf) - о. (2.13)
*—?4)?2-- (2-14)
где SaQ и S — соответственно тензор и скаляр Риччи трехмерного пространства.
Рассмотрим сначала уравнения (2.13) и (2.14), совершенно игнорируя пока уравнения (2.12). Предположим, что ga$ допускает разложение в ряд Тейлора по степеням t вблизи гиперповерхности Н, задаваемой уравнением t = 0, и что значения ga? и Ка§ при t = 0 заданы. Тогда уравнение (2.13) позволяет выразить вторую производную по времени от gap через известные величины; дифференцируя это выражение еще раз, найдем третью производную по времени и т. д. Другими словами, уравнения (2.13) — (2.14) сами по себе образуют так называемую задачу Коши—Ковалевской. Посредством сложного и очень изящного анализа Шоке-Брюа показала, что уравнения (2.13) — (2.14) на ограниченных Я и при достаточно малых t имеют Гравитационное излучение
93
единственные конечные решения, удовлетворяющие данным начальным значениям. При этом она не опиралась на предположение об аналитичности, как пришлось сделать выше нам. Конечно, решения в общем случае не остаются ограниченными для бесконечно больших промежутков времени: как упоминалось выше, система координат вызывает появление особенностей при больших t. Известны примеры, когда в начальной области гладкое решение дает физические (неустранимые) сингулярности в области больших, но конечных t.
Рассмотрим теперь уравнения (2.12); они называются уравнениями связи, потому что связывают начальные значения gaр, Предположим, что уравнения (2.13) —
(2.14) выполняются везде и что на начальной гиперповерхности H уравнения (2.12) тоже выполняются. Тогда (2.12) сохраняют силу также и в последующие моменты времени. Действительно, тождества Бианки (5"; а s О теперь запишутся в виде
