Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваненко Д. -> "Гравитация и топология" -> 30

Гравитация и топология - Иваненко Д.

Иваненко Д. Гравитация и топология — М.: Мир, 1966. — 310 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaitopologiya1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 97 >> Следующая


Статья 4. Р. Сакс

III. Геометрия конгруэнции изотропных геодезических

Слабые гравитационные волны, подобно свету, распространяются с локальной скоростью света. Поэтому разумно предположить, что окажется удобно оперировать геометрическими объектами — линиями и гиперповерхностями, касательными к локальному световому конусу. Здесь мы рассмотрим некоторые предварительные положения, которые послужат основой дальнейшего изложения.

Рассмотрим светоподобную геодезическую Xа = Xа ( V). Касательный вектор

A» = ^ (3.1)

подчиняется условию

kaka = 0. (3.2)

При надлежащем выборе v мы имеем также

ka;bkb = ~ -f ObAc = O. (3.3)

Если теперь перейти к другому параметру v', то условие (3.3) останется в силе, если и только если (db'/dv2) = 0, т. е.

(3'4)

где А и D — константы. Параметры v', задаваемые уравнением (3.4), носят название канонических аффинных параметров.

Рассмотрим теперь конгруэнцию (заполняющее все пространство — время множество) таких геодезических, задаваемую уравнениями

ха = Xа (уа, V) (а = 1, 2, 3).

Отдельные кривые задаются уравнениями уа = const и будут называться лучами; v — аффинный параметр вдоль каждой кривой. При допустимых заменах параметра имеем

V' = Л-!(1/")Г-Ь?(г/а), k'a = Aka, (3.5)

ООО

г/'а = г/'а(г/р). Гравитационное излучение

97

где индекс «О» под буквами означает величину, (кова-риантно) сохраняющуюся вдоль каждого луча.

Кроме вектора ка, полезно иногда рассматривать другой действительный светоподобный вектор та и комплексный вектор ta = (1/2)1/! (qa + ira), где f и га — действительные пространственноподобные векторы, ортогональные друг другу и векторам ка и та. Вектор та можно нормировать таким образом, чтобы така = 1; тогда JcaJtia = tata = 1 (остальные произведения дают нуль), (3.6а)

(3.66)

(у) ёаЬ = Щакъ) + t(Jb),

где черта над буквой означает комплексное сопряжение, а круглые скобки в индексах — симметризацию. [Уравнения (3.6а) и (3.66) взаимно вытекают друг из друга.]

X

'У, Z

Фиг. 2.

Набор векторов (ка, та, ta) носит название квазиортогональной тетрадной системы (фиг. 2). Уравнения (3.6) и условие, что векторы ка направлены вдоль данного множества лучей, фиксируют квазиортогональные тетрады с точностью до следующих преобразований:

1) пространственноподобные вращения в (q, ^-плоскости

Va = Cta (CC = 1), (3.7)

2) временноподобные вращения в (к, иг)-плоскости

к'а = Ака, Tnra = A-1Tna, (3.8)

о о

3) так называемые изотропные (или светоподобные) вращения

m'a = ma + Bta + Wa -BBka, (3.9)

t'a = ta— Bka, к'а = ка.

7 Заказ № 28 98

Статья 4. Р. Сакс

Преобразования (3.7) и (3.8) образуют однопараметри-ческие группы; преобразования (3.9) образуют двухпара-метрическую абелеву группу; преобразования (3.7) и (3.8)

коммутируют друг с другом, но не с преобразованиями (3.9).

Чтобы выяснить геометрические свойства нашей конгруэнции, построим в некоторой точке вектор

Ьха=(д-^) б С",

V дуау>

соединяющий некоторый выделенный луч L

уа = са,

и соседний луч (фиг. 3)

У а = са §са

Если произвести одно из допустимых преобразований (3.4), то получим

8'ха = ба:" + bka, (3.10)

где величина Ъ ¦= vб (In А) — AbD произвольна в данной

0 0 0

точке. Таким образом, в противоположность двум соседним временноподобным кривым две соседние изотропные геодезические не определяют в точке f единственного соединяющего их вектора. Однако из равенства (3.10) видно, что соотношение kabxa = 0 выполняется либо для каждого такого соединительного вектора, либо ни для одного из них. В действительности верно даже более общее положение.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Величина А"Ьха одинакова для любых двух векторов, соединяющих луч L и фиксирован- Гравитационное излучение

99

ный соседний луч, независимо от того, в какой точке на L мы ее вычисляем.

В самом деле, пользуясь основным геометрическим определением производной Ли, или равенством смешанных частных производных

д2ха _ д2ха dvdya ~~ OyaOv '

мы заметим, что

Lk(Sxa) = 8xa;bkb-ka;boxb = 0. (3.11)

С другой стороны, Lk (ка) = 0, так что Lk (каЬха) = О, и это произведение сохраняется вдоль L, что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим два различных луча L' и L", оба соседних к лучу L. Предположим, что векторы, связывающие L с каждым из этих лучей, ортогональны вектору к? (и поэтому пространственноподобны). В некоторой выделенной точке луча L длина векторов, связывающих L с L' и L", определяется единственным образом, так как эта длина остается инвариантной при преобразованиях (3.10); определен также и угол между векторами. Нам предстоит выяснить, как эти длины и углы изменяются при перемещении точки вдоль луча L. Для удобства мы введем оператор проектирования hb = Ctb + + tatb, имеющий обычные свойства: hb, действуя на некоторый вектор, проектирует его в двумерное пространство, ортогональное вектору &а; это 2-пространство определено не единственным образом, так как еще может изменяться при изотропных поворотах (3.9). На основании (3.9) мы замечаем, что эта произвольность соответствует как раз произвольности (1.10) ортогональных соединительных векторов в фиксированной точке луча L, например h'asb = hbsb + Ъка. Из предыдущего ясно, что можно смело использовать Щ при вычислениях длин и углов между различными соединительными векторами, если они ортогональны вектору ка.
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed