Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
(4.9)
(4.10) Гравитационное излучение
109
теперь к общему случаю. Оказывается, что результаты в общем случае полностью аналогичны полученным нами. Для некоторого значения и следует задать две функции у и 6. Тогда будущее определяется с точностью до пяти произвольных функций интегрирования: члена —2M (и, 0, ф)/г, добавляемого к W, двух функций
Задается Задается
Na (и, 0, ф), появляющихся в члене порядка 1 /г3 в U, и двух «функций информации» Со (и, 0, ф), где комплексная функция с дается уравнением (4.7).
Затем нужно вычислить три дополнительных условия. Ввиду сформулированной выше леммы интуитивно ясно, что добавочные условия должны включать только функции М, N и Со-, после долгих вычислений получаем:
M0= -1C0I2+ J (sin 0ГД { V [ V (со sin2 в) ] } .
(4.13)
3(JV2 + і sin07V3)= -VM-[4cctg0 + (Vc) + 3cV]co, (4.14) где
V = -щ + і (sin 0)"1 -щ , Зі = Действительная часть.
Таким образом, M и Na можно определить, задавая с (и, 0, ф) и некоторые начальные значения (фиг. 5).
В аксиально симметричном случае эти уравнения приобретают более простой вид
M0 = - с* +і- (C22 + Зс ctg 0 - 2с)о, (4.15)
ZN0 = — M2 + Зсс02+4ccq ctg 0 + с0с2. (4.16) 110
Статья 4. Р. Сакс
Теперь можно подсчитать степени свободы. Величины у и б, заданные на начальной гиперповерхности и = const, совместно с двумя функциями информации Со, заданными при г = оо, служат двумя поперечными степенями свободы. Кроме того, следует конкретизировать MaN в начальный (или конечный) момент запаздывающего времени; эти три функции двух переменных, очевидно, должны быть связаны с продольными временноподоб-ными степенями свободы п0ля. Особенно изящная черта проблемы начальных характеристик состоит в том, что независимые данные фигурируют в результатах в этом явном виде. Теперь мы уделим некоторое время геометрической и физической интерпретации полученных результатов.
Быть может, наиболее ясную геометрическую интерпретацию позволяет получить переход от асимптотически плоского случая к следующему варианту локальной проблемы начальных характеристик: какие данные нужно задать на двух пересекающихся светоподобных гиперповерхностях HnH' для того, чтобы определить поле в некоторой малой области, ограниченной этими двумя гиперповерхностями? Оказывается, что на H задаются у и б; из (4.4) видно, что это равносильно заданию поперечной конформной метрики на этой гиперповерхности. Вместо задайия функций информации на H' можно также задать поперечную конформную метрику. На пересечении H VilH', автоматически двумерном и пространственноподобном, задаются некоторые другие величины; эти функции только двух переменных соответствуют, грубо говоря, продольным временноподобным степеням свободы. Доуткорт [21 ] подробно исследовал смысл этих продольных временно-подобных степеней свободы, опираясь на аналогию с электродинамикой, но мне не довелось ознакомиться подробно с результатами. В отношении же поперечных степеней свободы соответствие между геометрической картиной и результатами лоренц-ковариантной теории вполне удовлетворительно.
В заключение этой лекции скажем еще несколько слов относительно асимптотически плоского случая. Допустим, имеется поле, которое в момент м = Ои некоторое время до него не зависело от времени. Тогда единственной воз- Гравитационное излучение
111
можностыо, при которой система может начать изменяться со временем, будет случай, когда произвольная функция C0 выбрана отличной от нуля при w> 0. Это можно использовать как утверждение, что со описывает излучение, испущенное на бесконечность первоначально статическим источником; наше последующее обсуждение тензора Римана подтвердит эту интерпретацию самым детальным образом. Теперь мы можем интерпретировать уравнение (4.13). В начальном не зависящем от времени положении функция M в силу уравнения (4.14) не зависит от углов. Поскольку не зависящие от времени асимптотически плоские поля хорошо исследованы, нетрудно показать, что в этом случае M есть просто активная гравитационная масса всего поля (включающая массу и источников^ и гравитационного поля), как ее дают измерения с помощью пробных тел на бесконечности.
Допустим теперь, что функция со в течение некоторого времени отлична от нуля, а затем спадает до нуля таким образом, что M опять становится сферически симметричной [и, конечно, не зависящей от времени в силу (4.13)]. Интегрируя уравнение (4.13) по сфере, находим, что при этих условиях масса уменьшается на величину
AM = — J dudQ sinO <Zq>| C012. (4.17)
Потерянная масса это просто масса, уносимая на бесконечность волнами. Виникур и Морган и (независимо) Пен-роуз показали, что электромагнитное излучение вызывает дополнительное уменьшение массы, связанное с энергией, уносимой электромагнитным полем. В общем случае M зависит и от времени и от углов, и поэтому носит название аспекта массы; предпринимались также попытки, отчасти успешно, отождествить Na с аспектом дипольного момента, связанного с моментом импульса, и отождествить уравнения (4.14) с законом сохранения момента, но здесь пока еще есть непреодоленные затруднения.
