Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
- еао (X)gaW01 (X) >0.
Тогда каждую локальную координатную систему можно выбрать так, чтобы пространственные компоненты еа° исчезали. В этом и состоит временная калибровка:
e(/i)° (х) = 0.
Эквивалентная формулировка через обратную систему e?a записывается так:
ehm (х) = 0.
Заметим также, что
причем Далее
е(ш№т) = Ь ih = enWe(lf e0W= -C0WelWew1.
det e?a = eo(0) det e,W = [e(0)o det e^r1.
G использованием временнбй калибровки гравитационный оператор действия приобретает вид
где
R0k(0)d) = OoCoft(0)(0 — OftCO0(0)(O + + CDfc(Z)(m)ffl0(0)(m) + ®ft(0)(m)0>o(m)(0'Квантованное гравитационное поле
74
Rkl(m)( 0) = — OfeCOi(0)(m) + дгСй ft(0)(m) + 4 ®ft(m)(n)tt>!(0)(n) — tt>!(m)(n)COft(0)(n)
И
Rkl(m)(n) = (3 )Rkl(m)(n) —tt>ft(0)(m)tt>!(0)(n)^— Cui(0)(m)O>fc(0)(n)-
В последнем уравнении обозначение (3)Rki(m)(n) означает, что этот тензор образован из трехмерных величин Щ(т)(п), Мы также положили
det(3)e = det
Можно заметить, что С0й(0)(о и det(3)eeA<'> удовлетворяют уравнениям движения. Но для соо(0)(г), «>ощт), a>fe(0(m), е(о)' или Є(о)° нет соответствующих уравнений движения. Если рассматривается только гравитационное поле, то варьирование по первым трем из этих переменных дает уравнения связей, имеющие вид
dk detOjee(Oh) — иft(o(m) (det(3)ee(m)'i) = О,
c0O(O)(Wi) = Co(m)( 0)(0'
где
к
®(O(0)(m) = C(I) ®(k)(,0)(m), 0)КЧт)(п) = det(3)? [е'?<™) (C0(0)(0)<n) — е^Юі ІП Є0<°>) — - eft("> (C0(0)(0)(m) - In e0(0))],
причем
C0(0)(0)(m) = e((»4(0)<m) + Є(0)<0)а>0(0)(т),
a (S)Xft(mHn) образован из трехмерных величин так же, как Ю1аЬ из четырехмерных. Если первое уравнение связи
dk (det(3)ee(0fe) 4- det(3)eco<m>(m)(0 = О
скомбинировать С выражением ДЛЯ (3)i?ft(m)(n), то последнее упрощается до
(3)Kk(m)(n) = — det(3)e [oj?^mXn) —
— (ffl(m)(n)(p) — M(TiXmXP))]!
повторное применение того же уравнения связи дает
eh(m\3)K\m)ln) = - det(3)e [(3)Q<m>(mK„) + co<m)(m)(n)] = 0.76
Статья 3. Ю. Ш вин г е р
Соответственно
M(O)(O)(Tn) = Є(7п)ді In е0<°>
и
(3 )Kh(m)(n) = 0.
ИЛИ
®(h)(l)(m) = ~2 [(З)й(О(пО(Ь) + (зАшЩі) — (3 Aft)(0(m)b
Все эти соотношения представляют собой трехмерную часть наших четырехмерных записей.
В силу свойств симметрии С0(й)(0)(о член, соответствующий производной по времени в подынтегральном выражении в принципе действия, содержит шесть пар переменных. Особенно удобный выбор получается, если ввести
С0д<°>г= -Co„(0)(m)e;<m> = COj(O)fe
и трехмерный тензор
(S)Shl = ek(m)em) = ghl
вместе с его обращением
(3)gkl = еЧт)Є(т)1
Таким образом,
det(3)eefeWo0coft(0)(0= _gV«efc( Oo0(cofe(o)me(0»'),
где
g = det(3)gA;,
откуда имеем
- g1/2(3)g"4fflfe<°>;--lT ShVhd0(S)Skl =
= 4" S~1/2®hwid0 (S(3)Skl) - до ISlh(S)SkWVih
Член с временной производной может быть опущен, так как оператор действия данной динамической системы может быть изменен добавлением граничных членов. Искомые пары переменных суть
ЯЫ = S(S)Shl,Квантованное гравитационное поле
77
И
Dw = Ag-V2c0ft(O),
Отметим, что остальные члены в Rok(0xi) по сути дела равны нулю вследствие уравнений связи, если только е(0)" и ofteo(0) стремятся к нулю достаточно быстро на больших пространственных расстояниях.
Окончательная форма оператора действия следующая:
W = J (dx)lUkld0qM-e0«»emhrk-Cb(O)g-VitO],
где
Tft = - ulndhqlm + dh (2W.imqlm) - dt (2lWm)
и
т0== (Іг) g(S)R~2xnkl nmn.
Явная структура величины
g{3)R = qh\i)Rhi
дается выражением
gh\s)Rhi = dhdlqM+Q,
где
Q = —4" Яппдтя"dnQki - A dmqklqindhqmn --\qhldh In foVi)O, In fo1/.)
и
q = det ^fii = g2, причем ^Ai = g^gki есть матрица, обратная к ^fii.
IV. Поле материи
Мы будем рассматривать здесь только простейший пример материального поля. Оператор действия для поля со спином нуль в заданном метрическом поле ^jiv может78
Статья 3. Ю. Ш в ин г е р
быть записан в виде
W = J (dx) [ ф^ф + ~ qP(-g)-vWPv -
— \т2( — ?)1/2ф2],
где величина ф^ есть векторная плотность. Уравнение связи, получаемое варьированием по фь, имеет вид
0 = 3kq> + (-g)-V.gAvq>v или, эквивалентно, при временной калибровке: — ewhdk(f) = e(0)og-1/2eV(o9v-
Возведение в квадрат этого локального векторного уравнения дает соотношение
duW^w = (е(0)о)2 + (Ф0)2.
Альтернативная конструкция, получаемая умножением на eh(-l~>dk(p, имеет вид
- е0^ё-1/*дкщыд1<{> = ФЧф - ео(0)е(0)йФ0^Ф-
В результате, исключив ф\ получим для оператора действия следующий вид:
W= 5 (dx) [фОдоф-Єо(0>Є(0)Тй_Є0(0)?-і/27'0Ь
где
Tk = — ф<%ф
и
^0 = Цф0)2 + дкЩк1дм + ql/tm\2}.
Одновременные коммутационные свойства этих операторов легко следуют из канонических перестановочных соотношений, которым подчиняются ф и ф°. Так, имеем:
- і [Го (х), T0 (х')\ = - [qhl (X) T1(X) + + qhl(x')Tl(x')]dh6 (х-х')
и
- i[Th (х), T1 (х')\ =-71, (х) dko (х-х')-
-Tk(x') діб (х-х').Квантованное гравитационное поле
79
V. Координатные "условия
Оператор действия для системы, содержащей гравитационное поле и материальное поле, есть