Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Вследствие (3.11) имеем:
Аь (б_]_жь); скс — AabS±хь (8±xa = K8xb, Al =hadhlkd.c). (3.12)
8* 100
Статья 4. Р. Сакс
Бесконечно малое линейное преобразование б±ха~>8±ха +А18±хь dv
можно разложить, как и в гидродинамике, на бесконечно малые повороты, растяжение и сдвиг:
Aab = Alab] + Y Ackab + [ А(аЬ) — Y Athab ] . (3.13) Следующие три скаляра:
W==V YМ«щАаЪ = У J к[а; ь]ка'Ь, Q = -Acc = -ка;с,
________ (3.14)
I О I = |/1 [А(аь)АаЬ - 2Є2] = -j/1[к{а-ъ)ка] Ь - 2S2I
называются соответственно модулями поворота, растяжения и сдвига. Сдвиг мы будем в дальнейшем рассматривать как комплексную величину с модулем (3.14). Из предыдущих рассуждений ясно, что adv, Qdv, | <т| dv определяются единственным образом данной конгруэнцией. Поэтому и ш, и [ ст и Q приобретают при преобразовании
(3.5) множитель А.
о
Чтобы получить более явные выражения для со, о и q, разложим ка. 6 по нашим квазиортогональным тетрадам. Вследствие равенства
ка; — ка; = 0
находим, что ка; ь имеет вид
ka;b =Ztatb+ Otatb + Qfaftb + IKtb+ к. с. + 1какъ, (3.15) где
z = ka;btatb = Q + m, ^3 16
O = к a; btatb.
Из этих уравнений можно непосредственно видеть, что величины со, о и Q имеют определенный физический смысл, поскольку они инвариантны относительно нулевых вращений (3.9) и имеют простые трансформационные свойства относительно вращений (3.7) и (3.8).
Кроме аффинных параметров v, существуют еще параметры двух видов, которые часто вводятся на изотропных Гравитационное излучение
101
геодезических, когда Q 0: это «параллакс»
Tp = Q"1, (3.17)
и «яркостный параметр» гЛ, определяемый как любое решение уравнения
dTA QrА. (3.18)
dv
Последнее название связано со следующим обстоятельством. Пусть бF — бесконечно малый элемент пространства, вырезаемый некоторым выделенным пучком лучей, соседних к лучу L, каждый из которых имеет соединительный вектор, ортогональный ка\ как и раньше, это 2-про-странство не единственно, но величина площади бF определяется единственным образом. Если теперь найти скорость изменения бF вдоль L, то тривиальное обобщение предыдущих соображений приведет к выводу, что вдоль L справедливо соотношение
б F = const • г\.
Теперь, если в поле существует поток фотонов, распространяющихся вдоль лучей, то интенсивность потока уменьшается обратно пропорционально bF. Наоборот, фотоны можно использовать для измерения гА, приняв, что отношение интенсивности потока фотонов в некоторой точке луча L к интенсивности в какой-либо другой точке равно соответствующему отношению ГАІГ'Х. Ясно, что гА при этом определяется вдоль L только с точностью до множителя, постоянного вдоль L, что можно и непосредственно увидеть из уравнения (3.17). Как нетрудно убедиться, в общем случае это лучшее, что могут дать измерения яркостного параметра (конечно, если не определены абсолютная интенсивность источника фотонов и угловое распределение излучения).
В заключение этого рассмотрения я приведу несколько результатов относительно светоподобных гиперповерхностей. Пусть и = const образуют систему светоподобных гиперповерхностей, т. е.
U^bgab = о. (3.19)
Вектор ка = ut а есть вектор, нормальный к этим гиперповерхностям; вследствие (3.19) ка светоподобен, а 102
Статья 4. Р. Сакс
ковариантное дифференцирование равенства (3.19) дает
ZefbZeb = 0. (3.20)
Заметим, что ка лежит на гиперповерхности, к которой он ортогонален, ибо он самоортогонален. Поэтому отдельная светоподобная гиперповерхность и = 0 определяет внутри себя конгруэнцию лучей (фиг. 4), и на и — 0 все векторы, соединяющие соседние лучи, ортогональны ка. Можно задаться обратным вопросом: когда данная конгруэнция
изотропных геодезических может быть собрана в (однопараметрическое) семейство гиперповерхностей и = const, к которым ка ортогонален. Тривиальная возможность такого рода существует всегда, когда к[аіЬ] = 0, так как в этом случае ка есть градиент, ка = Ui а, И искомые гиперповерхности суть и = const. Однако, даже если вектор ка только пропорционален градиенту, К = q (xb) и, а, он все еще ортогонален гиперповерхностям и — const. Чтобы установить, пропорционально ли данное векторное поле ка градиенту, можно использовать следующую классическую теорему теории дифференциальных уравнений: произвольный вектор га ортогонален некоторой гиперповерхности (читай —«пропорционален градиенту»), если и только если Г?а> ь гс] = 0. Сопоставляя этот факт с уравнением (3.14), находим, что данная конгруэнция изотропных геодезических ортогональна некоторой гиперповерхности тогда и только тогда, когда она безвихревая. Величину и часто называют запаздывающим временем; мы вскоре увидим, откуда произошло это название.
Предположим, что гиперповерхность H, задаваемая уравнением и = 0, изотропна. Выберем на и две координаты xf1, постоянные вдоль лучей (в дальнейшем будет удобно считать а = 2, 3); в качестве третьей координаты
Ф и г, 4. Гравитационное излучение
103
возьмем любой параметр г вдоль лучей гиперповерхности Н. Тогда расстояние между соседними точками в H будет задаваться через
