Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваненко Д. -> "Гравитация и топология" -> 32

Гравитация и топология - Иваненко Д.

Иваненко Д. Гравитация и топология — М.: Мир, 1966. — 310 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaitopologiya1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 97 >> Следующая


ds2 = ga? (ха, г) dx*dxf>, (3.21)

так как направление лучей ортогонально всем остальным направлениям в Н; (3.21) мы будем называть «поперечной» метрикой гиперповерхности Н. «Конформно-поперечная» метрика на H определяется следующим образом. Вообще говоря, конформное пространство — одно из пространств, в которых хорошо определены отношения расстояний и углов, но не определены абсолютные значения расстояний. С формальной стороны это означает, что в пространстве существует метрический тензор, но он определен лишь с точностью до произвольного множителя. Поэтому конформно-поперечную метрику на H можно задавать, выбирая ga?, но имея в виду, что ga? и g (xv, г) gaP представляют одну и ту же конформно-поперечную метрику. Или альтернативно можно задать тензор

Aap = [det (?аР)Г1/2?аР, (3.22)

который на самом деле обладает только двумя компонентами, так как его детерминант тождественно равен 1.

Изотропные конгруэнции и светоподобные поверхности кажутся, конечно, очень странными «птицами»— это объясняется в основном тем, что они, будучи подпространствами метрического пространства, не имеют невырожденной метрики. Практически именно изотропные повороты (3.9) делают их столь эксцентричными. В частности, отдельная изотропная гиперповерхность не определяет какого-либо обыкновенного или необыкновенного семейства изотропных гиперповерхностей в отличие от поверхностей гауссовых нормальных координатных систем. Гораздо хуже обстоит дело со следующей проблемой. Уравнения (2.8) выглядят довольно привлекательно, поскольку мы можем выразить их через тензор Римана, вторую фундаментальную форму и ковариантные производные, определенные на трехмерной гиперповерхности t = const (правда, если бы пришлось выписать это в явной форме, то уравнения выглядели бы ужасно громоздко). Позднее нам понадобятся для изотропных гиперповерхностей урав- 104

Статья 4. Р. Сакс

нения, аналогичные (2.8), и мы тогда увидим, что они на самом деле крайне громоздки; в этом случае мы не знаем адекватного определения ковариантной производной и кривизны 3-пространства.

IV. Проблема начальных характеристик

Теперь мы располагаем геометрическими сведениями, необходимыми для изучения проблемы начальных характеристик. Мы выясним один вопрос, который остался непонятным в лекции II: если гравитационное поле имеет две поперечные степени свободы, то какова их геометрическая интерпретация? Мы найдем, что они являются двумя компонентами поперечной конформной метрики светоподобной гиперповерхности. Интересно отметить, что этот результат можно было полностью усмотреть из лоренц-ковариантной теории поля спина 2, представляющего предельно слабое гравитационное поле. Действительно, в этой теории поперечные степени свободы соответствуют поперечным бесшпуровым частям потенциалов (примерно так же, как в обычной электродинамике). Далее для предельно слабого гравитационного поля детерминант метрического тензора переходит в его след, так что конформная метрика (с исключенным детерминантом) является естественным конечным аналогом бесшпуровых потенциалов.

Простейшим гиперболическим уравнением в частных производных является уравнение

= 0 (4 1)

dt* дХ2 1>

В обычной проблеме начальных значений решение определяется заданием А иА при t = 0. Но так как общее решение этого уравнения есть А = / (х + t) + 8 (х — t), то легко также конкретизировать профили волн / и g, распространяющихся соответственно вправо и влево. Это сводится к заданию А (без задания каких-либо производных от А) на двух пересекающихся линиях, касательных к звуковому конусу, скажем на линиях х + t = 0. В общей теории относительности точно так же проблема начальных характеристик заключается в выделении Гравитационное излучение

105

решений посредством задания данных на гиперповерхностях, касательных к световому конусу. Эту проблему впервые рассмотрели Дармуа и Штельмахер; в течение последних двух лет она вновь интенсивно исследовалась. В этих лекциях я буду в основном следовать трактовке, данной Бонди.

Рассмотрим некоторую четырехмерную область пространства — времени и в ней выберем семейство светопо-добных гиперповерхностей и = const. Предполагается, что для соответствующей конгруэнции лучей с касательными векторами ка = и, а растяжение Q Ф- 0, что всегда может выполняться в некоторой окрестности пространства — времени; вне такой окрестности лучи начинают пересекаться, так что глобально наша конструкция неприменима.

Уравнения поля Ga = 0 тогда допускают расщепление, аналогичное расщеплению на Ga, Щ, с которым мы встретились при обсуждении обычной проблемы начальных значений. Чтобы увидеть это, дополним направление ка до квазиортогональной тетрадной системы (к, т, t) и примем следующие определения:

1. Основные уравнения (6 уравнений): kaGab = 0, Gabtatb = 0.

2. Тривиальное уравнение (1 уравнение): Gabtatb = 0.

3. Дополнительные условия (3 уравнения): Gabmatb = = 0, Gabmamb = 0. (Здесь одно комплексное уравнение считалось за два действительных.)

Справедлива следующая лемма:
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed