Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
BiiVab (х) = Oil(I)vab — дг(йцаь — МцасМ/ь -f u)vac0)|/b =
= Bviiab= Biivba,
и заметим, что
Biivab (х) = 1аа' (Х) 1ЪЬ' (Х) Bilva'b' (х).
Таким образом, Blivab есть антисимметричный тензор по отношению к локальным преобразованиям Лоренца. Он является антисимметричным тензором также и относительно общих преобразований координат (в силу структуры ротора). Из тождества Якоби для двойных коммутаторов вытекает дифференциальное тождество для 70
Статья 3. Ю. Ш в а н г е р
функции Bfivab (х). Наиболее компактно его можно записать с помощью дуальной тензорной плотности
*R»\b (х) = Je^Rimb(X), *B°\b = B23ab, ...
в виде
OlSRixvab - (Vc^vcb - Ulib^Blivac = 0.
Термин «тензорная плотность» соответствует следующим свойствам относительно общих преобразований координат:
•ИГЛ W = (deti|) ff. Существует также дважды дуальная тензорная плотность
преобразующаяся при локальных преобразованиях Лоренца как
.•діть ф = Jdet г ф гьь, ф **R».Wb' ^
Этот объект подчиняется дифференциальному тождеству
O^Bllvab — юД 1^vcb — (Olib^Blivac = о.
Для построения инвариантного оператора действия W= J (dz) 8
мы должны найти локальную функцию переменных гравитационного поля, являющуюся скалярной плотностью относительно общих преобразований координат и скаляром относительно собственных преобразований Лоренца. Двумя простейшими возможными являются конструкции
[det (ж)] е»а (х) е^ъ (х) Blivaъ (X)
и
(Х)Н ^vabixh
обладающие тем общим свойством, что опи меняют знак при несобственных преобразованиях Лоренца. Вторая Квантованное гравитационное поле
71
величина построена только из (Oilab. Однако она не дает эффективного вклада в оператор действия, поскольку из дифференциальных тождеств, которым подчиняются вытекает
б [± ^vahRiivab ] = O11 [**R'^vabScovab ] ,
откуда видно, что она не несет с собой никаких следствий, затрагивающих уравнения поля.
Примем предварительно в качестве гравитационного оператора действия величину
где
R = ei*aevb Rilvab = RlIvllv,
а х-константа с размерностью квадрата длины, и будем оперировать с ним в несколько эвристической манере безотносительно к его точным операторным свойствам. Тогда, опуская дцвиргенциальные члены, будем иметь
oW==(—k) I (dx)ideieoe^(2R?a-ellaR)+o(awlbKiiab}, где
Ktiab = dv [det е (e^aevb—e^eva)] —
— (ovac [det e (e^cevb — <^bevc)] —
— (OvbC [det e (е>*ае™ — ev-ceva)\
и
na— D abPuV-Ti av -41H —-flHV cb —-«luv і
мы также положили
det e = det
Получаемые варьированием функции должны подчиняться дифференциальным тождествам вследствие инвариантности W относительно локальных преобразований Лоренца и преобразований координат. Так, бесконечно 72
Статья 3. Ю. Ш в а н г е р
малое локальное преобразование Лоренца
0еа" = 0й>Л(Д StOvab = ScOacCOvcb + StObcCOvac + Ov6cOab, боhb (x) = — бCOb0 (x) приводит к тождеству
dvKvab-®vacKvcb-a>vbcKvac = —del (!(^aCvb (Rliv-Iivti),
где
r\iv = r\ixv^ = eva^briilab-Бесконечно малое преобразование координат Sea^ = — bxvdveav- 4- evdvbxv-,
SCO vab = — Ьххді,(і> vab — Щ.аі/К^ дает тождество
dv [det е (2R?v - SllVff)] + det е (2Rva -evaR) д^v = =- Sv (KvobQllab) -K^diiGvab.
Эти тождества приобретают более привычный вид, если положить Kvab равным нулю; тогда
в то время как
SW = 5 (dx)(-g)v* -L Sgl" (- A-) (Rliv-LglivR) , где
^HV = ga,IgabebV
и
dv [ (- gf2 ( V - Y V^) + (- Sfh (Hxli -
Таким образом, rilv-1izsiivr есть тензор Эйнштейна. Уравнения поля
К»аЪ = 0
могут быть представлены в виде
^"¦ab — (Шабе — «Ьас) + ЄЬ^К — Єа^ХЬ = 0, Квантованное гравитационное поле
73
где
И
Xa = (det e)~ldv [(det е) eav] + соьЬа.
Эквивалентно их можно представить в виде
Qcab — 0>аЬс + ®bac + gbcXa — g асХъ = О, причем как следствие этого последнего варианта получаем
-Q"ba-Cobba+ ЗЯа = 0.
Но
- dveav- = (det е)~1ду [(det е) eav\,
поэтому
V-=O.
Это свойство сохраняется и в окончательном уравнении
®abc ®bac = Qcabi
которое имеет решение
\
®abc = у IQbca + ^cab — ^abcl •
Последнее есть динамический вывод, основанный на уравнениях K^ab = 0, требования
Г"аЬс = Tbaci
т. е. условия симметричности величин
Tabc = CJabc — {еачдуеь^) бцс-
Инвариантность по отношению к произвольным локальным преобразованиям Лоренца и преобразованиям координат означает, что уравнения поля проявляют соответствующую незамкнутость в описании эволюции системы во времени. Для того чтобы получить ясную физическую интерпретацию формализма, необходимо сузить этот произвол, ограничивая выбор локальной лоренцевой системы и общей системы координат. Мы будем называть подобные ограничения соответственно калибровочными условиями и координатными условиями. 74
Статья 3. Ю. Ш в а н г е р
III. Временная калибровка
Первая наша задача — придать временной координате физический смысл, что можно сделать, закрепляя оси времени локальных координатных систем вдоль времен-ныX осей общей координатной системы. Временная координата X0 может быть выделена тем требованием, что Єа(х) должен быть временноподобным вектором в локальных координатных системах
