Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
(7.19) и (7.14) определяет подобный флажок и сам определяется флажком с точностью до знака. Мы пришли к геометрической интерпретации спиноров, предложенной Пенроузом: спиноры суть просто малые «флажки» в 4-про- 128
Статья 4. Р. С а к с
странстве, флагштоки которых направлены вдоль некоторых светоподобных направлений, а сами флажки ортогональны флагштокам; флажок содержит (самоортогональное) направление флагштока (фиг. 8).
VIII. Алгебра тензора Вейля
Пусть Rabcd — тензор Римана; в общем случае он имеет 20 независимых компонент. Вычитая все шпуры, мы можем из тензора Римана выделить так называемый конформный тензор Вейля Cabcd:
Ccd.cd = Rabca-28[c-ftd] + (-3-) 6[[c6d]?. (8.1)
Из (8.1) вытекает, что Cabcd имеет десять независимых компонент и след, равный нулю:
Cibid = O. (8.2)
Если Rab - 0, то Cabcd = RabCd-
Спинорная форма конформного тензора имеет вид
cAEBfCGDH = І ^^Gk + ЭРМ' С0ПР-)' (8'3)
где 1^abCd симметричен по всем индексам. Чтобы установить это, заметим сперва, что спинор в правой части (8.3) обладает всеми алгебраическими свойствами тензора Вейля, включая (8.2) (отсутствие следа); более того, спинор 1Fabcd имеет пять алгебраически независимых комплексных компонент (именно 1F1111, 1F1I12, 1F1I22 и т. д.). Таким образом, спиноры, определяемые равенством (8.3), можно использовать для представления конформных тензоров.
Согласно нашим предыдущим теоремам, при Cabcd =/= 0 существует от одного до четырех решений кА уравнения
WABCDkAkBkckD = 0, (8.4)
а соответствующие действительные светоподобные векторы ка носят название главных изотропных направлений конформного тензора.
В общем случае все четыре изотропных направления различны; этот случай называется, по Петрову, невыро- Гравитационное излучение
129
жденным классом І; CabCd в этом случае будет обозначаться как Iabcd или (без указания индексов) просто как I. Другая возможность состоит в том, что только два главных изотропных направления совпадают; этот случай называется, по Петрову, невырожденным классом II и обозначается как II. Далее, четыре главных изотропных направления могут совпадать парами; этот случай Петров называет вырожденным классом I и обозначает
как D. Могут также совпадать три изотропных направления; этот случай называется классом III и обозначается как III; наконец, могут оказаться одинаковыми все четыре главных изотропных направления; этот случай называется вырожденным классом II или «нулевым» и обозначается N. Класс I называется также «алгебраически общим»; остальные четыре случая носят название «алгебраически специальных». Соотношения между различными классами удобно изобразить на диаграмме Пенроуза (фиг. 9). Здесь 0 соответствует тривиальному случаю равенства конформного тензора нулю; стрелки обозначают направления возрастающей специализации вследствие совпадения главных изотропных направлений друг с другом. [Обозначение (1, 1, 2), например, указывает, что только два изотропных направления совпадают и т. д.]
Существует лишь несколько тензорных форм для вышеприведенных спинорных соотношений. Я приведу здесь две из них, часто встречающиеся в литературе. Обе можно с удобством представить при помощи комплексного тензора
Cabcd = Cabed + (^Г^ 4abijCl{cd> (8-5)
9 Заказ № 28 130
Статья 4. Р. С а к с
спиновая форма которого имеет вид
С .... = W є..є. .. (8.6)
aebfcgdh abcd ef gh 4 '
Таким образом YabcD можно рассматривать как спинор-ную форму конформного тензора. Небольшое вычисление показывает, что при Cabcd ф 0 действительный вектор ка является главным изотропным направлением соответственно кратности 1, 2, 3 и 4 тогда и только тогда, когда
к?ПаЪ[иК}какь = 0, (8.7)
Cabc[ikj]kckb = 0, (8.8)
Саьсцкпкс = 0, (8.9)
Cab CdAd = O; (8.10)
при этом ка автоматически оказывается светоподобным.
+
Таким образом, если тензор с abed допускает одно решение уравнения (8.8), то он алгебраически специален; если он допускает два независимых решения (8.8), то относится к типу d. Если он допускает решение уравнения (8.9), то относится либо к классу III, либо к n, соответственно тому, допускает ли он решение уравнения (8.10), или нет.
Другой критерий дают так называемые «минимальные уравнения». Если взять конечную матрицу, возвести ее в квадрат, затем в куб и т. д., то в конце концов получится столько матриц, что они будут линейно зависимыми. Уравнение наименьшей степени, которому подчиняется данная матрица, носит название ее минимального уравнения. Как известно, это уравнение единственно с точностью до числового множителя (являющегося также множителем характеристического уравнения). Если понимать
пары индексов тензора Cab^d как один индекс, то этот тензор можно рассматривать как матрицу; роль единичной матрицы тогда будет играть величина
[ab] а
б б +^irfbcd. (8.11)
cd Гравитационное излучение
131
Используя это соглашение, все классы можно охарактеризовать при помощи минимальных уравнений следующим образом:
N2 = 0 (т. е. JVabiiA^cd=O), (8.12)
