Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
VlAB] = JVC-Eab, ЕАВЕвс=—8сА,
Ua ~ Va ?==? VaUa = 0, VaUa=-VaUa. (7.2)
Теперь предположим, что иА и Vа образуют «базис» в 2-пространстве, т. е. —uBvB = 1; тогда справедливо условие «полноты» Eab=—U[Avb]. Двухиндексные спиноры хАВ можно получить как произведения спиноров с одним индексом; следующие четыре величины образуют базис в соответствующем пространстве:
kAB = VAVB, TUab=-UaUb, tAB = UaVb, tAB =UBVA.
(7.3)
Для подобных спиноров мы будем использовать естественное скалярное произведение, определенное с точностью до знака:
х-у = — хЛВУАв' (7.4)
Отсюда вытекает, что для наших базисных векторов справедливы следующие соотношения:
k-m = t-t= 1, а остальные произведения равны нулю. (7.5)
Но это и есть как раз соотношения квазиортогональности, приведенные в лекции III. Поэтому разумно отождествить величины (7.3) с квазиортогональной тетрадой (k, т, t). Гравитационное излучение
125
Таким образом, мы усматриваем следующее правило: каждому вектору ха единственным образом соответствует двухиндексный спинор
X . = хааа . = х0 ItaJ . + tat . + так .-1- кат .)ф==фїа =
AB AB V AB AB 1 AB AB'
= (7.6)
и наоборот. При этом ха действителен, если и только если Xab —«эрмитов», Т. е.
Xa^ = Xba = Xba = Xab. (7.7)
В тождествах (7.7) мы положили хАВ = хВА\ начиная с этого момента, мы всегда будем считать, что это так, т. е. если спинор имеет индексы и с точкой, и без точки, то относительный порядок их несуществен. Главное преимущество этого обозначения заключается в том, что преобразования Лоренца теперь описываются матрицами Л'в — четырьмя комплексными величинами, подчиняющимися одному алгебраическому соотношению det (Л) = 1, а не шестнадцатью действительными числами Ль, подчиняющимися десяти соотношениям связей.
Так как тензор с несколькими индексами можно представить в виде суммы произведений векторов, то, следовательно, любой тензор J1a...ь единственным образом представляется эрмитовым спинором T . ., для которого
T . . = T . . = T . . = T . .. (7.8)
AB...CD BA...DC BA...DC Б...DA...С
Переходы от тензоров к спинорам и обратно можно производить совершенно свободно при условии аккуратного учета знака в уравнении (7.4): каждое тензорное свертывание привносит множитель (—1) в соответствующее спинорное свертывание.
Каждому одноиндексному спинору хА соответствует вектор Xа
Xa= — Oa .Xab, Xab = XaXb, (7.9)
AB
причем вектор xf1 действителен и светоподобен; обратно, каждый действительный светоподобный вектор опреде- 126
Статья 4. Р. С а к с
ляет спинор, правда, лишь с точностью до фазового множителя.
Возьмем теперь действительный антисимметричный тензор Fab = —Fba. Для его спинорного представления справедливы соотношения
F ' •=F • • ,
abcd abcd
F . . = -F . .. (7.10)
cdab abcd 4 '
Поэтому
F . . = 4-(фАСЄ..+ф--ЄАС). (7-11)
abcd 2 bd tbd ' v '
гДе Фа в — Ф ва единственным образом определяется тензором Fab и может быть поэтому использован в качестве его спинорного эквивалента.
Если ввести представление о дуальности
Fab = -LibbedFed, (7.12)
где
IUcd = Tkabcd], Tl1234 = —( — g)V2< о (7.13)
есть тензор альтернирования (но не тензорная плотность), то мы получаем (после утомительных вычислений)
Fab = Fab + IFab^ Фасє... (7.14)
HJJ
Возьмем теперь iV-ИНдеКСНЫЙ спинор Ua...в, имеющий только индексы без точек и по всем индексам симметричный; такой спинор единственным образом определяется следующим полиномом:
F(x,y) = uA...BvA...vB, V1 = X, vi = у. (7.15)
Согласно фундаментальной теореме алгебры, F (х, у) может быть расщеплен на произведение N линейных множите-
a
лей F, каждый из которых определен единственным обра-
a
зом с точностью до постоянного коэффициента с, при-
TT a
чем [] с = 1. Тогда
а=1
1 n
UA...B=k(A..kB), (7.16) Гравитационное излучение
127
где спиноры кА определяются с точностью до коэффи-
а
циентов с как нули выражения (7.15). В частности, для фдв имеем
<UB = U(AVB)¦ (7.17)
Тензор Fab называется невырожденным, если иА не выражается линейно через vA. При этом действительные светоподобные направления ка и та, определяемые, согласно равенствам (7.9), спинорами иА и vA, носят название главных изотропных направлений Fab\ на основании изложенного выше мы имеем
Fabkb — кка,
FabTnb =+хта. (7.18)
Комплексное число к назы- Фиг. 8.
вается собственным значением
тензора Fab и является скаляром. Обратно, если векторы ка и та действительны и удовлетворяют соотношениям
(7.18), где Fab Ф 0, то они светоподобны и являются главными изотропными направлениями Fab-
Возможен один вырожденный случай, именно ка = та, или, эквивалентно, иА = vA. Тогда я = 0и тензор Fab называется «изотропным» или «вырожденным». В этом случае мы имеем, согласно проделанным выше вычислениям,
Фав = МДМв=$ Fab = klarb], (7.19)
где ка — главное изотропное направление, а га — (действительный) пространственноподобный вектор, ортогональный ка- В этом случае Fab имеет следующую геометрическую интерпретацию: это есть малый «флажок», причем флагшток направлен вдоль вектора ка, а сам флажок образован элементом поверхности, натянутым на векторы ка и га. Таким образом, любой спинор через уравнения
