Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
1
этому имеет смысл), только если добавочный член в уравнении (10.2) исчезает для всех векторных полей ga. Для доказательства формулы (10.2) мы прежде всего заметим, что она справедлива для метрического тензора, в чем можно убедиться прямым вычислением. На основании общих свойств производной Ли и того факта, что T есть функция только метрического тензора и его производных по координатам, формула (10.2) затем автоматически оказывается справедливой для всех Т.
Теперь на основании явной формулы для производной Ли, данной в лекции II, непосредственно следует, что Lg(T) = 0 для всех ga только в двух случаях: 1) T = 0;
о • о
2) T есть скаляр и T = const. На практике можно поэтому о
получить имеющие смысл результаты, только прибегая к специальным уловкам: либо оперируя исключительно Гравитационное излучение
141
тензорами, возмущенное значение которых равно нулю, либо работая с объектами, более сложными, чем Т, либо, наконец, как-то ограничивая разнообразие допустимых преобразований.
Если теперь вернуться к линеаризованной теории, то мы заметим, что невозмущенные значения всех рассмотренных выше тензоров, за исключением самого метрического тензора, равны нулю, так что в этом особом случае линеаризованные возмущения все имеют смысл. Начиная с этого момента,-ниже будет предполагаться, что невозмущенное многообразие есть пространство Минковского с введенной в качестве координат лоренцовой системой, так что единственными допустимыми преобразованиями первого рода будут лоренцовы преобразования. Пусть
(-gf'gab = ЛаЬ + ЯУab + 0 (10.3)
Так как невозмущенные значения всех других величин равны нулю, то мы впредь будем опускать индекс 1; так, Gab = Gab будет означать первое возмущение тензора і
Эйнштейна и т. д. Чтобы сохранить согласие с обычной терминологией, мы будем называть координатные преобразования второго рода на протяжении всего обсуждения линеаризованной теории «калибровочными преобразованиями».
Во многих специальных случаях параметр разложения q удобно выбрать так, чтобы он имел размерность длины. Например, область вне «сингулярности» г = 2пг в метрике Шварцшильда — Крускала обладает всеми требуемыми выше свойствами, если выбрать в качестве параметра разложения q = тп, имеющего в -абсолютных единицах размерность длины. Когда размерность q есть длина, нужно ожидать, что линеаризованная теория не дает одинаково хорошего приближения на всем протяжении пространства — времени; обычно результаты линеаризованной теории оказываются удовлетворительными вблизи бесконечности в асимптотически плоском пространстве — времени, но не в других точках и не в других случаях.
Линеаризованные уравнения поля имеют вид
4 = Yap,. с/ + T yC,iaП«Ь - Y У be, а° = (10'4) 142
Статья 4. Р. С а к с
Отметим, что вследствие принятых выше условий все индексы поднимаются и опускаются при помощи лоренцова метрического тензора г]яЬ и все ковариантные производные можно заменить обычными производными. В силу устанавливаемой соотношением (10.2) леммы, Gab калибровочно инвариантен. Тождества Бианки после двух свертываний приобретают вид
G?,a = 0. (10.5)
Тождества (10.5) оказываются самоочевидными, если переписать Gb через линеаризованный «суперпотенциал» UabC = - UacbI
(? = Ulct с, у Ubc = у», с] + SLbYcJ % (10.6)
При обсуждении решений линеаризованных уравнений ключевую роль играют десять «сильных» законов сохранения, являющихся аналогами закона сохранения заряда в классической электродинамике. Пусть источники гравитационного поля локализованы — например возьмем некоторую четырехмерную трубку с временноподобной границей, внутри которой Gab = Tab Ф 0, тогда как вне трубки Gab — 0. Обозначим внешнюю область через R. Рассмотрим пространственноподобную гиперповерхность H с элементом объема dSa, полагая, что граница DH гиперповерхности H полностью лежит в R и элемент ее площади есть dSab = — dSba. Полная величина энергии — импульса Pa и момента Mab источников определяется (в нашем приближении) как
P0= J dSbG*b, я
Mab = 2^ dScGc[axb\ (10.7)
н
где ха — лоренцовы координаты невозмущенного пространства Минковского. Эти величины очевидным образом лоренц-ковариантны; кроме того, они калибровочно инвариантны в силу нашей леммы и независимы от H вследствие законов сохранения (10.5). Гравитационное излучение
143
Используя уравнения (10.6), можно выразить Pa и Mab только через асимптотическое гравитационное поле:
Pa= ? (ISbcUfc,
(10.8)
Mcd= $ 2dSab{x^Uc}ab-nb^ydla}-
DH
Таким образом, основное содержание законов сохранения для материи эквивалентно утверждению, что интегралы (10.8) не зависят от поверхности DH до тех пор, пока DH не перемещается через область, где Gab Ф 0. То, что интегралы (10.8) калибровочно инвариантны и не зависят от выбора поверхности интегрирования, в первую очередь следует из эквивалентных равенств (10.7); однако небольшое вычисление позволяет показать, что можно непосредственно использовать уравнения поля для вывода независимости интегралов (10.8) от поверхности DH и доказательства того, что добавочный член, который подынтегральные выражения в (10.8) приобретают под действием калибровочных преобразований, при интегрировании исчезает. Таким образом, Pa и Mab калибровочно инвариантны и не зависят от поверхности DH также и в случае, когда линеаризованная теория служит хорошим приближением лишь вне некоторой мировой трубки. При этом гравитационное поле внутри мировой трубки будет, конечно, давать вклад в Pa и Mab, так что эти величины следует мыслить как суммарную энергию поля и источников.
