Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
на J" и J+, а поля с конечной
I-
Ф и г. 3. Цилиндр представляет вселенную Эйнштейна. Две пространственные координаты 0, ф опущены; изображены только одно пространственное и одно временное измерения. Заштрихованная область соответствует многообразию оМ.
массой покоя — в точках и /+, но не на J" и Ct+-
Рассмотрим теперь метрику Шварцшильда
ds2-=<1и* --^) +
+ dr du — г2 {dQ2 + sin2 0 Жр2}, где используется одна изотропная координата и (запаздывающее время). Вводя ds=Qds с ?2 — г-1 и выбирая новую координату в виде I = г-1, мы получаем:
ds2 = du2 (I2 — 2ml3) — dl du — dO2 - sin2 9 dip".
Эта метрика регулярна (в классе Cca) на гиперповерхности Ct+I определяемой значениями Z = O, t — конечно. Аналогично, выражая метрику через опережающий параметр V вместо запаздывающего параметра и, найдем, что 158
Статья 5. Р. П е н р о у з
метрика регулярна (в классе Cco) на J~. В обоих случаях J+ и J- топологически будут трехмерными открытыми цилиндрами (S2 X E1). Ситуация в точности идентична случаю пространства Минковского, если в нем исключить точки /",/0и /+. Однако если включить эти точки в многообразие о/М в случае метрики Шварцшильда, то возникает
новая ситуация. Именно, каждая из точек /", /°, I+, очевидно, должна с необходимостью быть сингулярной точкой для М. То, что и I+ сингулярны, не удивительно, ибо вся материя оказывается сконцентрированной в этих точках при достижении границы. Однако точка T0, по-види-мому, также должна быть сингулярной в любом асимптотически плоском случае, когда полная масса отлична от нуля, т. е. во всех представляющих интерес асимптотически плоских случаях, за исключением пространства — времени Минковского. Тот факт, что эти точки сингулярны в аМ, становится важным в связи с вопросом о группах асимптотических симметрий. Этот вопрос мы коротко обсудим в лекции III.
Метрика Шварцшильда, приведенная выше, представляет собой частный случай метрики
ds2 = г2A dr2 — 2Ві dx1 dr + r2Ci} dx1 dx' (г, 7 = 1,2, 3),
T
Пространственно-. подобная
Ф и г. 4. Образы прямых линий в еМ (одно пространственное измерение опущено). Конформная трактовка бесконечности.
159
где при г-1 = X0 величины A, Bi, CiJ должны быть достаточно гладкими функциями х^1 (|Л = 0, . . ., 3), особенно на гиперповерхности J. Тогда, если соответствующие якобианы в A, Bi, Cij не равны нулю, то метрика ds = Qds, где Q = г-1, достаточно регулярна на J. Отметим, что для этой метрики YliQ =7^ 0. Это условие играет важную роль в некоторых применениях. Записанная метрика включает в качестве частных случаев многие метрики, предлагавшиеся для описания гравитационного излучения в асимптотически плоском пространстве — времени, такие, например, как метрики Бонди, Робинсона — Траутмана, Сакса и, вероятно, также Ньюмэна — Унти. Сюда же можно включить пространство — время де Ситтера и изученные Демьянским варианты асимптотической метрики де Ситтера, представляющие собой обобщение метрик Робинсона — Траутмана на случай отличной от нуля космологической постоянной.
Лекция II
Теперь мы несколько уточним понятие рассматриваемого типа пространства — времени М. В обозначениях лекции I потребуем, чтобы
а) v?і Snv были достаточно гладкими;
б) Q была достаточно гладкой на всем <М, причем
Й = 0 на J и Tt 0 на J (= <#);
в) каждая изотропная геодезическая в M начинается и оканчивается на J.
Если M удовлетворяет требованиям а — в, то его называют асимптотически простым. В случаях асимптотически плоского и асимптотически деситтеровского пространства—времени эти требования обязательны, ново многих других применениях условие в следовало бы заменить некоторым более слабым локальным требованием. В частности, чтобы обеспечить асимптотическую простоту в случае Шварцшильда, массовую сингулярность нужно будет заменить достаточно протяженной областью, в которой Riiv Ф 0, поскольку иначе будут существовать круговые изотропные орбиты (например, при г = 3т), которые не уходят на J+. Точки /° и I+ в данном случае исключаются из точного определения Ot. Смысл требования в 160
Статья 5. Р. Пенроуз
заключается в том, чтобы гарантировать включение всей изотропной бесконечности в J. В связи с условием в следует уяснить одно важное свойство конформных преобразований, именно, что любая изотропная геодезическая из <М переходит в изотропную геодезическую В Q/ft. Понятие изотропной геодезической (в противоположность понятиям пространственноподобной и временноподобной геодезических) конформно инвариантно. В силу этого любая бесконечно удаленная в прошлое или в будущее точка любой изотропной геодезической из аМ изображается в M точками $.
В лекции III мы рассмотрим некоторые случаи, в которых не выполняется требование б. Однако в определенных ситуациях условие VftQ ф 0 может быть выведено из других допущений асимптотической простоты. Одной из таких ситуаций является выполнение (в М) уравнений Эйнштейна для пустого пространства в окрестности У. Другая такая ситуация возникает всегда, когда присутствует космологическая постоянная К, если только предположить, что при X >0 плотность энергии неотрицательно-определенна, а при X < 0 неотрицательно-определенно давление. При этих условиях можно также показать, что из факта % > 0 следует, что У пространственноподобна, из факта К < 0 следует, что У временноподобна, и, более того, при VliQ Ф 0 показать, что из К = 0 следует, что У изотропна.
