Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Излучение различных полей с нулевой массой покоя в Л можно изучить, исследуя поведение конформно преобразованных полей в точках У. Чтобы осуществить это в случае гравитационного поля, необходимо представить его как поле со спином 2, т. е. поле типа рассмотренного в лекции I. Нетрудно заметить, что если уравнения Эйнштейна для пустого пространства выполняются — с космологической постоянной или без нее,— то конформный тензор Вейля Clivpo для <М (определенный д-ром Саксом в его лекциях х) ) удовлетворяет уравнению
V^C(lv]pCT = 0
!) См. перевод лекций Сакса в настоящем сборнике (стр. 84— 151).— Прим. ред. Конформная трактовка бесконечности.
161
и обладает следующими свойствами:
C[ivpa= С[ра][\ц.у], = 0, Cvna = O-
Спинорный эквивалент 1FabCd тензора Clivpa определяется соотношением
Ciavp, = IVabcbZ^-Ji + ^3??--} a^afa^af
и в пустом пространстве удовлетворяет уравнению
Va^1FabCd = O.
В присутствии материи это уравнение (в общем случае) имеет также ненулевую правую часть. Мы можем, таким образом, отождествить поле спина 2 флвси в M со спи-норным полем 1FabCD
Wabcdz=^ abcd, или ^livpo = Clivpo.
Однако при конформном преобразовании мы имеем
YabCd = Q+21Fabcd, Ctivpa = Q-2Cjiv ро-
Сравнивая коэффициенты в этих выражениях и в выражениях, полученных нами ранее (лекция I), находим
^ABCD = Q 1YabCD, Kjivpa = Q 1Clivpo-
Разница между конформным поведением тензоров Kflvpa и Cilvpa на самом деле не удивительна, если учесть, что (в общем случае) тензор Риччи в пространстве з# не будет исчезать (и не будет пропорционален gp.v), когда область <М вблизи J пуста. Таким образом, тензор Clivpo для пустого пространства — времени Ji в общем случае не будет удовлетворять уравнению свободного поля с нулевой массой покоя, тогда как тензор Kitvpa будет удовлетворять этому уравнению.
Коль скоро поле гравитационного излучения следует изучать, рассматривая компоненты тензора Klivpa в точках J, то ^Llivpa должен быть конечным (и, скажем, непрерывным) на Ct ¦ Пока не ясно, будет ли это выполняться в общем случае, ибо отсюда следовало бы требование Clivpo = 0 на Ci- На настоящей стадии мы знаем только,
11 Заказ МЇ 28 162
Статья 5. Р. П е н р о у з
что Cllvpa достаточно регулярно на J вследствие требования а. Однако же мы имеем
vap (Q-IIFabccJ=O.
Отсюда следует, что на J
TIa^abcd = W a^ABCD = 0, где = V^Q есть нормаль к J, по предположению не равная нулю. Теперь, если космологическая постоянная в уравнениях Эйнштейна присутствует, то J простран-
ственноподобна или временноподобна. Тогда пАР несингулярна, откуда следует, что WabCd = 0 на j (и, следовательно, Cilvpo = 0 на J). Из ^-дифференцируемое™ Yabcd вытекает, что Фавсо = Q-1iPabcd непрерывна на J. G другой стороны, если космологическая постоянная равна нулю, то J — изотропная гиперповерхность. Поэтому пАР сингулярна, и мы получаем только
IaYabcd = O,
где пАР = ± iAip. Дифференцируя уравнение для Q-1YabCD еще раз, найдем, что на J
IeV^Tabcxj = Oi
если только на J
VVQ = 0-
Это последнее уравнение действительно вытекает из формулы для бесшпуровой части тензора Риччи на многообразии аМ, когда в оМ (вблизи J) выполняются уравнения Эйнштейна для пустого пространства. Можно затем показать из глобальных соображений, что если топология гиперплоскости 3 та же, что и в случаях Минковского и Шварцшильда, то Yabcd = 0 на J, а, следовательно, фabcd непрерывна, как и ранее.
На самом деле можно показать, что когда J изотропна, ее топология с необходимостью имеет вид J = J- U J+, где J- -J+ « S2 X E1, как и в случае пространства — времени Минковского (/-, /+ исключены). Доказательство несколько тяжеловесно и существенно опирается на требование в, связанное с асимптотической простотой. Конформная трактовка бесконечности.
163
Если предположить, что в окрестности С! выполняются уравнения Эйнштейна — Максвелла, то изложенное выше рассуждение можно провести как для гравитационного, так и для электромагнитного полей при условии, что космологическая постоянная либо положительна, либо равна нулю, и что исключены отклонения от нормального положения вещей. В результате оказывается при этом, что на J гравитационный спинор <pabcd непрерывен, а электромагнитный спинор фдв (по крайней мере) ограничен. Эти выводы можно, конечно, несколько усилить.
Важная роль, которую играет факт конечности фabcd и фдв на J, обусловлена связью между этим фактом и так называемым свойством «расщепления» (его рассмотрел д-р Сакс в своих лекциях х)). По существу оно означает, что различные комплексные компоненты спиноров фдвсо и Фав спадают как последовательные отрицательные степени аффинного (или яркостного) параметра г в запаздывающих или опережающих изотропных направлениях в <М. Это в свою очередь связано с асимптотическим поведением главных изотропных направлений полей.
Пусть симметричный спинор Фа ... к с 2s индексами ограничен вблизи J, и пусть g — изотропная геодезическая в оМ, пересекающая J в точке G1 а — спинор, связанный с касательным направлением к g и выбранный так, что он параллельно переносим вдоль g. При конформных 'преобразованиях зта картина будет сохраняться, если
