Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Так как обобщенная группа Бонди — Метцнера задается в явном виде своим действием (5.10) на і+, то нетрудно детально проанализировать ее структуру. При этом получим следующие результаты. Четырехпараметрическое
множество трансляций
0' = 0, ф' = ф,
и' =¦- и + е° — Є3 COS 0 — є2 sin 0 sin ф — e1 sin 0 COS ф (6.7)
является нормальной подгруппой всей группы; на самом деле оно оказывается даже единственной четырехпара-метрической нормальной подгруппой. Ни десятипараме-трическое множество преобразований Лоренца (5.9), ни шестипараметрическое множество однородных преобразований Лоренца (5.7) не образуют инвариантной (нормальной) подгруппы, хотя, конечно, они образуют подгруппу. Для того чтобы выяснить физические следствия этих теоретико-групповых результатов, рассмотрим пока 122
Статья 4. Р. Сакс
только неоднородную группу Лоренца. В рамках этой группы четыре трансляции образуют нормальную подгруппу, но шесть вращений таковой не образуют. Как следствие этого, четыре компоненты энергии — импульса, скажем Pa, вполне определены, а шесть компонент момента Mab = —Mba не определены таким единственным образом. При преобразовании координат х'а = ха + са имеем для момента:
M'ab = Mab + 2P[acbl. (6.8)
Теперь ясны следствия приведенных выше результатов по структуре обобщенной группы Бонди — Метцнера. Следует ожидать, что удастся ввести хорошо определенную полную величину энергии — импульса Pa единственным с точностью до преобразований Лоренца образом.
С другой стороны, нужно ожидать, что момент в общем случае всегда будет определен не единственным образом: Mab будут преобразовываться по закону, аналогичному (6.8), но гораздо более сложному. Оказалось, что функции информации C0 имеют очень простые трансформационные свойства относительно (конечных) обобщенных преобразований Бонди — Метцнера. Как результат этого четыре интеграла, содержащих сферические гармоники
Yim (6, Ф):
P0= \ I с012 du dd sin 0 dф,
І (6.9)
-Pa= \ IC012 du dd sinQd(pYla (a = l, 2, 3),
обладают всеми основными свойствами Pa и определены единственным с точностью до однородных преобразований Лоренца образом. Но соответствующего результата для Mab не существует.
Такова стадия, которой можно достичь на основе описанных выше рассуждений, и текущее состояние дела несколько озадачивающе. Мне думается, следующее, что нужно сделать, это попытаться найти теоремы, позволяющие качественно выяснить поведение в общем случае асимптотически плоского поля в окрестности точки однако необходимые вычисления далеко не тривиальны. Гравитационное излучение
123
Vila. Тензор Римана в общей теории относительности
До сих пор я едва упоминал тензор Римана. Однако ясно, что в общей теории относительности этот тензор должен играть очень важную роль: он является простейшим нетривиальным объектом, который можно построить в точке, а его обращение в нуль есть критерий отсутствия истинных гравитационных полей; его структура, кроме того, определяет относительное движение соседних пробных частиц в соответствии с уравнением девиации геодезических, которое рассмотрел Синг.
Пять лет назад Пирани физически интерпретировал алгебраическую структуру тензора Римана в точке, ранее исследованную Петровым и другими. Вскоре вслед за этим Лишнеровиц, Бель и другие показали, что рассмотренные Пирани алгебраические соотношения тесно связаны с поведением поля при распространении его от точки к точке. С тех пор теория «чистого излучения» Петрова — Пирани интенсивно исследовалась; сейчас она приведена почти в замкнутую форму. В течение этого периода строгие и геометрически ясные результаты теории чистого излучения служили ключом к пониманию поведения общих полей излучения, особенно в асимптотически плоских пространствах. Теперь мы уделим некоторое время основным результатам этой теории.
УІІ6. Алгебра двухкомпонентных спиноров
Прежде всего рассмотрим алгебру двухкомпонентных спиноров. Грешно, конечно, вводить целый багаж новых формальных соотношений, но спинорный аппарат не только наиболее удобен для наших целей, но имеет также важные применения в лоренц-ковариантных теориях.
Пусть иА — комплексная величина с двумя компонентами, и пусть єлв — двумерный символ альтернирования
eAB — ?[АВ], ЄІ2 = 1-
Пусть допустимыми преобразованиями иА будут такие линейные преобразования и'А = AbUb, при которых сохраняется «скалярное произведение» uavbeab. Тогда А в должна быть комплексной матрицей с детерминантом, равным единице. Комплексно сопряженная иА 124
Статья 4. Р. Сакс
величина будет преобразовываться с матрицей, комплексно сопряженной Aab; этот факт мы будем обозначать индексами с точками, например иА = иА. Мы будем использовать еа в для поднимания и опускания индексов:
гАВ = Е.. = ЕАВ = ЕАВ, AB
Ua = — єлвив UA = EabUb (и соотвєтствєнно
для индексов С точкой). (7.1)
Так как еав антисимметричен, необходимо следить за порядком индексов в соотношениях (7.1). Приведем несколько простых алгебраических следствий из этих определений:
1 с
