Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ia = Qv^A-
Пусть т)а выбран так, что он параллельно переносим вдоль g, причем IatIa = I) так что в точке G нормаль к J линейно зависит от двух изотропных направлений, представленных спинорами и т)а- Тогда можно выбрать gAT)A = l, причем т)а параллельно переносим вдоль g в оS и
ЇІа = + О (С21/2 In OHa-
') См. стр. 133 настоящего сборника.— Прим. ред.
и* 164
Статья 5. Р. П е н р о у з
В силу конечности каждой компоненты фА. . ,CD...K1Ha-• • . . . TIcId .. . будем иметь
ФА... CB... кЧ1 - • • ^3F - • • Г = о ( Qk+'1),
где слева стоит произведение к спиноров а Фа...к = = ?28+1Фа. . .к, как и в лекции I. Кроме того, Q"1 ~ ~ аг, где г — аффинный (или яркостный) параметр вдоль g, а а — некоторая постоянная. Это в свою очередь позволяет получить свойства «расщепления» для поля Фа...к в М. В частности, интересно отметить описывающую излучение компоненту (или «изотропную часть») спинора фл...к> которая получается при A = O. Из предыдущего ясно, что она спадает как г-1.
Остальные компоненты также представляют интерес; в частности, в случае гравитации пропорциональная г'3 компонента входит в определение полной энергии — импульса системы. Пусть 3 — гиперповерхность в М,
содержащая некоторое двумерное сечение S гиперпо-
«
верхности J+. Другими словами, S = S = где
S пересекает каждую образующую гиперповерхности J+ в одной точке и каждая точка S лежит на образующей гиперповерхности J+. Гиперповерхность § будет асимптотически изотропной в оМ. Двумерная поверхность S должна быть пространственноподобной и будет иметь топологию сферы Si. Такую поверхность всегда можно преобразовать при соответствующем конформном множителе в метрическую сферу, скажем, единичного радиуса. Предположим, что это сделано. Тогда полная величина энергии — импульса, выделенная гиперповерхностью равна следующему интегралу по S:
= S (ON-^2)WilClS,
где dS — элемент площади поверхности S,
I BfCf-D
Ч^фАВСоП Л I S » Л AB CD
O = IVicV А?С, Конформная трактовка бесконечности.
165
причем т)л соответствует изотропному направлению в J+, а Iа соответствует остальным изотропным направлениям, которые ортогональны элементу dS и нормированы так, что IatIa = 1- Тогда N представляет собой по существу «функцию новостей» Бонди — Сакса. Величина о определяет модуль сдвига изотропной гиперповерхности,
Фиг. 5. Энергия — импульс, выделенные гиперповерхностью 'S, измеряются интегралом по S. Соответствующий интеграл по S' меньше на величину, равную энергии — импульсу, уносимым излучением
пересекающейся с J+ в S (с в обозначениях Бонди — Сакса). Величина Wtl — действительный весовой множитель, который ведет себя как 4-вектор. Мы можем выбрать W0 = I для энергии и W1 = cos 0, W2 = Sin 9 sin ф, W3 = sin 0 cos ф для трех компонент импульса, где 0 и ф — сферические полярные координаты на S.
Это выражение для энергии — импульса по существу представляет собой запись в принятой нами форме результатов Бонди — Сакса. Однако в рамках нашего формализма можно дать независимый вывод их закона сохра-
между S и іS'. 166
Статья 5. Р. П е н р о у з
нения. Фактически может быть получен даже несколько более общий закон сохранения. Пусть S' — другое (скажем, более позднее) сечение J+ (фиг. 5). Тогда можно построить соответствующий интеграл энергии — импульса Prv,, представляющий полную величину энергии — импульса, выделенную Гиперповерхностью^'. Разность P11 — РІЇ можно выразить как интеграл по части гиперповерхности J+, заключенной между S и S', от величин NNWv и I (PabtIatIs I 2 ^n (определяющих соответственно потоки энергии гравитационного и электромагнитного полей). Поэтому если сечение S' — более позднее, чем S, то P0 >р; и Pp- Р'ц есть временноподобный вектор. В присутствии нейтрино распределение их энергии — импульса дается выражением (ivDv — ivDv) W11, где v = = фАт)Л, a D означает производную по изотропному направлению в J+. Отметим, что DN = Фавсст1Ат1Вт1Ст11)> так что во всех случаях поток энергии — импульса может быть выражен через поле излучения. Но в случае поля со спином 2 он определяется квадратом интеграла по времени от поля излучения. В случае же спина 1I2 он содержит производную по времени.
Лекция III
Интересно рассмотреть природу бесконечности в различных космологических моделях. Это позволяет сделать конформная техника, описанная в лекциях I и II. Природу гиперповерхности J можно сопоставить с существованием горизонта видимости и с вопросом об опережающих и запаздывающих полях на космологическом фоне. Правда, типы пространства — времени, с которыми при этом придется иметь дело, будут, как правило, асимптотически простыми.
Например, как мне заметил Д. Норман, в случае вселенной Эйнштейна — де-Ситтера мы с необходимостью имеем: Vll й = 0 на J+. Для этой модели можно построить и 0~, если принять, что Q = оо на J-. Модель Эйнштейна — де-Ситтера есть расширяющаяся вселенная, развивающаяся из первоначальной точечной сингулярности. Последнюю все же можно представить как несингуляр- Конформная трактовка бесконечности.
