Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
А. Фридман
A. Friedman, Rev. Mod. Phys., 37, 201 (1965)
Дается обзор результатов дифференциальной геометрии, касающихся проблемы погружения искривленного пространства — времени в псевдоевклидово пространство.
I. Введение
Недавние работы в физике элементарных частиц связывают внутренние симметрии элементарных частиц относительно несильных взаимодействий с симметриями обобщенной кривизны пространства — времени. Математический аспект зтой проблемы состоит, таким образом, в том, чтобы получить информацию относительно класса погружений различных четырехмерных релятивистских метрик; рассматриваемые погружения являются изометрическими и гладкими и имеют либо локальный, либо глобальный характер.
Математическая литература содержит многочисленные результаты по локальным (изометрическим) погружениям, но лишь немногие из них могут представлять интерес в связи с проблемой определения класса погружений для метрик рассматриваемого типа. Что касается глобальных погружений, то здесь есть несколько совсем свежих результатов, но они относятся только к положительно определенным метрикам.
В этом сообщении я дам обзор большинства известных результатов по глобальным погружениям, а также некоторых результатов по локальным погружениям, которые, может быть, окажутся полезными в применении к релятивистским метрикам.
II. Глобальное изометрическое погружение
В этом разделе мы рассмотрим изометрическое погружение риманова многообразия Fn размерности п в эвклидово пространство Em размерности т с метрикой ds2 = Изометрическое погружение римановых многообразий 183
= dx\ + • • •+ dxm. Мы говорим, что Vn принадлежит классу Cp (р > 1), если локальные координаты Vn связаны друг с другом р раз непрерывно дифференцируемыми функциями. Говорят, что метрика Vn принадлежит классу Cp, если в локальных координатах компоненты метрического тензора (р — 1) раз непрерывно дифференцируемы. Наконец, если многообразие Vn принадлежит классу Cp и если его метрика также принадлежит классу Cp, то мы говорим, что Vn есть риманово многообразие класса Ср. Говорят, что погружение принадлежит кцассу Cp, если определяющие его функции р раз непрерывно дифференцируемы.
В случае погружений класса Cp 2) риманов тензор кривизны для исходного многообразия не определен и на самом деле может не существовать (поскольку для его определения необходимы производные первого и второго порядков от метрического тензора). По этой причине естественно рассматривать только погружения класса Cp с р > 3. Однако я упомяну некоторые результаты относительно погружений класса C1 по той причине, что размерность вмещающего (или объемлющего) пространства удивительно мала.
ТЕОРЕМА 1. Любое компактное риманово многообразие Vn класса C1 (с границей или без границы) допускает изометрическое погружение класса C1 в E2n. Любое некомпактное риманово многообразие класса C1 допускает изометрическое погружение класса C1 в Е2пн.
Фактически справедливы более общие результаты. Прежде чем установить их, введем два понятия. „Короткое погружение" (short embedding) есть погружение, которое в каждой точке не удлиняет линейный элемент. Точка P во вмещающем пространстве принадлежит предельному множеству погружения многообразия Vn тогда и только тогда, когда в Vn существует расходящаяся последовательность, отображение которой сходится к Р.
ТЕОРЕМА 2. Если компактное риманово многообразие Vn класса C1 (с границей или без границы) допускает Погружение класса C1 в Ek при k > п + 1, то оно также допускает изометрическое погружение класса C1 в E^ 184
Статья 6. А. Фридман
Если некомпактное риманово многообразие Vn класса C1 допускает короткое погружение класса C1 в Ejl, к > > п + 1, не пересекающее свое предельное множество, то оно допускает также изометрическое погружение класса C1 в Eh.
Согласно известным теоремам Уитни о погружениях [22], посылки теоремы 2 всегда выполняются при k = 2п и к = 2п + 1 соответственно в компактном и некомпактном случаях. Таким образом, теорема 1 вытекает из теоремы 2.
Теорему 1 установил Нэш [1], а теорему 2 Нэш доказал [1] в более слабой форме к > п + 2; в приведенной здесь форме ее доказал Куипер [2]. Из теоремы 2 вытекает:
СЛЕДСТВИЕ 1. Для каждой точки риманова многообразия Vn класса C1 существует окрестность, допускающая изометрическое погружение класса C1 в Еп+1.
СЛЕДСТВИЕ 2. Плоский re-тор (т. е. метрическое произведение п-окружностей) допускает изометрическое погружение класса C1 в Еп+1.
СЛЕДСТВИЕ 3. Гиперболическое пространство Hn \т. е. пространство En, снабженное метрикой ds2 = = iI3 (dQ2 + ф (q) do2), где do — евклидов элемент поверхности на единичной сфере в пространстве En, q — радиальное расстояние и ф (q) = (sh cq)2/c2] допускает изометрическое погружение класса C1 в En+i.
Обратимся к погружениям класса Cv (р > 3).
ТЕОРЕМА 3. Любое компактное риманово многообразие класса Cp (р > 3) допускает изометрическое погружение класса Cp в Em, где т = 1IzH (Зге + 11). То же самое верно и для некомпактных многообразий, по с т = 112 н (n + 1)х X (Зге + 11).
