Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
167
ную граничную гиперповерхность многообразия оМ\ это операция, в некотором роде обратная рассмотренной нами выше. Вместо бесконечного сжатия (Q = O), стягивающего бесконечность в конечную границу, здесь нужно бесконечное расширение (О = оо), растягивающее сингулярную точку в несингулярную гиперповерхность. Эта первоначальная гиперповерхность оказывается пространственноподобной. Напротив, J+ оказывается изотропной, как в случае пространства Минковского, причем вершина будущего I+ и вершина прошлого Iй лежат на J~. Мировые линии галактик («фундаментальных наблюдателей»)—это линии, начинающиеся в точках гиперповерхности J" и оканчивающиеся в точках /+ (фиг. 6).
В модели стационарной вселенной нет начального взрыва. Однако в этом случае Cf' также не изображает области, находящейся собственно на бесконечности. Модель не полна относительно прошлого в том смысле, что существуют временноподобные геодезические, которые не могут быть продолжены в прошлое до бесконечности. Стационарная вселенная представляет только половину полного гиперболоида де-Ситтера (который не следует смешивать с моделью Эйнштейна—де-Ситтера). Граница J" есть обычная изотропная гиперповерхность по отношению к физической метрике. Поэтому Q конечна (и не равна нулю) на J~. С другой стороны, модель асимптотически проста по отношению к направлениям в будущееJ+ пространственноподобна, причем Q = 0 и Vn ? ф Ф 0. Далее, J" имеет вершину прошлого в которой Q = 0, и вершину будущего лежащую на J+. Конформное многообразие M с границей фактически тождественно многообразию, отвечающему модели Эйнштейна —де-Ситтера, с той лишь разницей, что направление времени обращено (фиг. 7). Эта модель также изображает расширяющуюся вселенную. Мировые линии галактик представляются (вследствие непрерывного творения материи) линиями, начинающимися внутри <М и заканчивающимися на J+. Плотность этих линий бесконечна на J+ (и на J'), но не внутриі#. Каждая из таких линий, будучи продолжена в прошлое, прошла бы через (в предположении отсутствия собственного движения). 168
Статья 5. Р. П е н р о у з
на—де-Ситтера (А, = 0, к = 0). Показаны мировые линии галактик. I0 должна быть одной точкой. Начальная сингулярность изображается гиперповерхностью Релятивистская космо-
логия в случае X = 0, /с 0 аналогична, за исключением того, что роль I0 играет S2. Соответствующие случаи % Ф О выглядят так же, с той разницей, что Cfjr — пространственнопо-
добна, а /+ отсутствует.
тик. I0 опять представляет собой единственную точку.
Как и в случав пространства Минковского, рассмотренном в лекции I, каждую из этих моделей можно конформно представить как часть статической вселенной Эйнштейна (фиг. 8). Она займет в точности половину Конформная трактовка бесконечности.
169
области, изображающей пространство — время Минковского. Чтобы представить асимптотически простое пространство — время де-Ситтера целиком (сжимающуюся и расширяющуюся модель), нужно две такие части соединить вдоль их изотропной границы, причем одна должна быть
Ґ дЛя вселенной а Эйнштейна / \ / \ / \ / \ V
Фиг. 8. Конформное представление модели стационарной вселенной как части вселенной Эйнштейна. Отсюда ясно, что I0 представляет собой единственную точку. Представление модели Эйнштейна — де-Ситтера аналогично, но перевернуто. Для релятивистских моделей с k < О I0 не есть точка, потому что M не обертывается полностью вокруг цилиндра.
J*"
вселенной Эйнштвйт
Фиг. 9. Полное пространство — время де-Ситтера представлено на вселенной Эйнштейна (показанной пунктиром). Эта модель может быть получена соединением двух копий модели, изображенной на фиг. 8 (одну из них нужно перевернуть). За исключением моделей, асимптотически сводящихся к вселенной Эйнштейна, любая релятивистская модель с к > 0 имеет такое же представление. 170
Статья 5. Р. П е н р о у з
перевернута. В результате получится просто конечное сечение бесконечного цилиндра, изображающего статическую вселенную Эйнштейна (фиг. 9). Граничные гиперповерхности J-H J+ будут при зтом разделены и несингулярны, каждая из них будет трехмерной сферой S3. На самом деле это специальное представление применимо также ко всем остальным релятивистским (с нулевым давлением) моделям Робертсона — Уолкера с положительной пространственной кривизной к (например, к модели Леметра). Разница заключается лишь в том, что цилиндр становится полубесконечным в случае двух моделей (именно моделей Эддингтона — Леметра), которые асимптотически переходят во вселенную Эйнштейна. Сама вселенная Эйнштейна является примером максимального универсального конформно плоского пространства — времени. Другими словами, каждая конформно плоская модель конформна части вселенной Эйнштейна. Бесконечность вселенной Эйнштейна не может быть представлена в виде несингулярной гиперповерхности. Любой конформный множитель, который делает «концы» цилиндра конечными, также должен сжать цилиндр в каждом конце в точку. Сжатие во временном направлении должно сопровождаться соответствующим сжатием в пространственных направлениях. Поэтому в этом случае существует просто начальная сингулярная точка /" и конечная сингулярная точка I+.
