Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ф и г. 13. Если J+ — изотропная гиперповерхность, то горизонт событий не существует, так как изотропный конус прошлого точки О* совпадает с Jjr. 174
Статья 5. Р. П е н р о у з
ния, изложенные в лекции II. Однако ради большей ясности и в целях лучшей мотивировки суждений в случаях, когда Q/fl не является асимптотически плоским, рассмотрим сначала, как решения уравнений Максвелла могут быть построены на основании начальных данных.
Любое однородное пространство — время, к счастью, конформно плоско. Это чрезвычайно облегчает анализ в случае рассматриваемых космологических моделей,
Фиг. 14. Если бы M было подобно пространству Минковского, то можно было бы выразить максвелловское поле в точке P через запаздывающие вклады от зарядов, мировые линии которых пересекают изотропный конус прошлого точки Р, плюс вклад свободного поля, порождаемого полем на Cf*.
поскольку можно считать, что метрика M (по крайней мере вблизи J ~ или J+) в точности совпадает с метрикой пространства — времени Минковского. Пусть P—точка многообразия o/ft, не слишком удаленная, скажем, от J". Тогда можно надеяться, что удастся выразить (конформно инвариантное) поле в точке P в виде суммы вкладов от зарядов, получающихся как точки пересечения ряда мировых линий зарядов с изотропным конусом прошлого, построенным в точке Р, плюс интеграл по области, вырезаемой пересечением гиперповерхности J~c этим изотропным конусом (фиг. 14). Поле в точке P определялось бы суммой «запаздывающих» полей, обусловленных зарядами, и вклада свободного поля, приходящего от J~, т. е. поля приходящего излучения. Проблема Конформная трактовка бесконечности.
175
здесь состоит в том, как выразить запаздывающее поле зарядов. Один из возможных путей ее решения мог бы состоять в том, чтобы, найдя частные решения уравнений Максвелла для каждого заряда, вычесть затем из полученного поля вклад свободного поля, приходящего от J-. Очевидно, дело зависит от того, как ведет себя свободное поле в зависимости от своих значений на гиперповерхности J'.
Для большей общности рассмотрим свободное поле произвольного спина s в пространстве — времени Минковского. Так же как и в лекции I, мы можем представить его симметричным спинором фд...к с 2s индексами, который
подчиняется уравнению УарФа в...к = 0 (или Vti Vliф = = 0 при S = 0). Поле в точке P можно выразить как интеграл по величинам, определенным на пересечении S изотропного конуса точки P и начальной гиперповерхности
ф AB...K(P) = ^l J Ыв ...1к {Dff- (2s + 1) Q(P) с®.
Если Q — произвольная точка 2, то фигурирующие
выше величины определяются, как показано на фиг. 15.
—>" ->
Спинорный эквивалент 4-вектора QP есть р|А| в! t^k что спинор соответствует изотропному направлению
вектора QP, а р измеряет протяженность QP. Элемент площади поверхности в точке Q есть d 2. Пусть спинор rjA определен в точке Q так, что соответствующие ему и спинору |А изотропные направления копланарны друг другу и нормали пк гиперповерхности S в точке Q. Другими
словами, пусть произведение т]А т]я линейно зависимо • • •
от пАВ (= п^су45) и |А |в. Норма т]А фиксируется условием |аг]а = 1. Комплексная величина ф определяется как
ф = фАв...к(<?)іїУ- • • Л* Выражение Dф означает производную этой компоненты
Фа...к в изотропном направлении, отвечающем спинору _•
Т]А, т. е. D = г]Ат]в Vab-Величина — Q измеряет расходимость этих изотропных направлений в точке Q, именно,
Є Il SaT^iIcVaV. 176
Статья 5. Р. Пенроуз
Сравнивая это выражение для ф с результатами, полученными в лекции II, мы видим, что если & = J-и пространство — время асимптотически плоско, то ф измеряет поле приходящего излучения. Если ^=J, то Ф дает поле исходящего излучения. В том и в другом случаях ф есть часть поля, отвечающая степени г-1,
Ф иг.. 15. В пространстве — времени Минковского свободное поле в точке P можно просто "выразить через величины, определенные на начальной гиперповерхности Соответствующая компонента поля (и ее производная), знание которой необходимо на есть поле, полностью свернутое с г|А. Нормаль пУ' к % в точке Q компланарна с изотропными направлениями тіА и где |А определяет направление вдоль QP. Таким образом, только когда 'S — изотропная гиперповерхность, TIa может не зависеть от положения Р.
где г — аффинный параметр на изотропной геодезической, проходящей через точку Р. Если пространство — время не является асимптотически простым на J+ или J-вследствие того, что там Vti^ = 0, то, как показал Д. Норман, нужно просто заменить аффинный параметр г яркост-ным параметром г* (~Q_1), и свойства расщепления все равно сохранятся. Поэтому ф измеряет тогда часть поля, отвечающую степени г*~г. Если Q ф 0 (скажем, Q = оо) на J- или J+, то интерпретация ф как величины, измеряющей поле излучения, проводится не столь непосредственно. Однако, как правило, ф действительно оказывается той. величиной в интеграле свободного поля для Фа...к» которая подсказывает такую интерпретацию.
На этом этапе следует отметить одно важное свойство величины ф. Если начальная гиперповерхность "§ является изотропной, то в любой точке Q гиперповерхности S спинор Т]А по существу не зависит от положения точки Р, Конформная трактовка бесконечности.
