Гравитация и топология - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Эта теорема установлена Нэшем Г3 3. Величина т кажется слишком высокой, но до настоящего времени не известно успешных попыток понизить эту верхнюю границу в общем случае. Для частного случая гиперболического пространства Hn Бдансула [4] получил в явном Изометрическое погружение римановых многообразий 185
виде изометрическое погружение класса С°° в E6n^5 при п > 2 и в Ee при п — 2.
Теперь приведем в некотором смысле противоположный результат, т. е. дающий нижнюю границу для т.
ТЕОРЕМА 4. Пусть компактное риманово многообразие Vn класса С4 обладает следующими свойствами: в каждой точке Vn существует q-плоскостъ, такая, что в ней все кривизны по всем двумерным направлениям < 0. Тогда Vn не допускает изометрического погружения класса Ci в любое Em с т<Сп + <7 — 1-
Так, в частности, плоский тг-тор не допускает изометрического погружения Ci в E2n-1 (он, конечно, допускает изометрическое погружение класса в E2n). Полезно сравнить этот результат со следствием 2.
Теорему 4 установили Черн и Куипер [5] для случая q = 2, 3 и Отзуки [6 ] для общего случая любого q. Частный случай плоского Vn был ранее доказан Томпкинсом [7]. Отзуки [8, 9] получил также некоторые другие связанные с этой проблемой результаты. Так, для п = q = 2 он дал пример компактной поверхности с везде отрицательной гауссовой кривизной, допускающей изометрическое погружение в Em с т = п q = 4. Он также показал, что если условие, наложенное на кривизну (в теореме 4), распространяется только на одну точку, a q = п, то существует изометрическое погружение класса C4 в Е2п—2.
В доказательствах всех предыдущих теорем необходима положительная определенность метрики; теоремы теряют силу, если метрика неопределенна. Мы проиллюстрируем это как раз на примере теоремы 4. Доказательство ее опирается на следующую геометрическую идею.
Пусть Vn есть подмногообразие Em, и пусть О — фиксированная точка в Em. При перемещении точки P по Vn евклидово расстояние OP достигает максимума в некоторой точке Po. Следовательно, в точке Po многообразие должно быть «вогнутым в сторону точки О», и это будет налагать некоторое «условие положительности» на риманов тензор кривизны в точке P0. Чтобы зто условие не противоречило допущению об отрицательности 186
Статья 6. А. Фридман
кривизн по двумерным направлениям в Po, размерность т должна быть достаточно велика (т. е. т > п + q — 1).
Ясно, что в случае индефинитной метрики, даже если в некоторой точке Po будет существовать локальный максимум OP, многообразие не обязательно должно быть «вогнутым» в точке Po, как раньше.
III. Локальное изометрическое погружение
В этом разделе имеются в виду исключительно локальные погружения.
ТЕОРЕМА 5. Любое риманово многообразие Vn с аналитической положительно определенной метрикой допускает аналитическое и изометрическое погружение в Em, где т = 1 /2 п (п + 1).
Эта теорема установлена Жане [10], Картаном [11] и Бурстиным [12]. Рассмотрим теперь Vn с неопределенной метрикой. Обозначение Vn (р, q) здесь указывает, что метрический тензор имеет р положительных и q отрицательных собственных значений (р + q = п). Евклидово пространство с метрикой ds2 = dx\ + . . .+ dx\ — — cZ?p+1 — . . .— dxn обозначается как En (p, q), где q = n — p. Наконец, положим Vn (n, 0) = Vn.
ТЕОРЕМА 6. Любое риманово многообразие Vn (р, q) с аналитической метрикой допускает аналитическое и изометрическое погружение в Em (г, s), где т = 1I2 п (п + 1), а г, S—любые заданные целые числа, удовлетворяющие условию, г > р, г > q.
Эта теорема установлена Фридманом [13].
Начиная с этого момента, мы рассматриваем только изометрические и достаточно гладкие погружения. Полезно ввести следующие понятия.
Пусть ко — наименьшее неотрицательное целое число, такое, что Vn (р, q) допускает погружение в En+k0 (р, q + + к0). Для каждого к из мы определим
к-й класс погружения многообразия Vn (р, q) как наименьшее число Nk, такое, что Vn (р, q) допускает погружение в En+Nh (р + ah, q + к), где ah + к = Nh. Класс погру-жения многообразия Vn (р, q) определяется как
min0<fe<ftoiVft.
Согласно теореме 6, Nh <1 /2 п (п 1) для всех к. Изометрическое погружение римановых многообразий 187
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА. Определить Nk для данного Vn (р, q).
Во многих случаях специальных релятивистских метрик (п = 4) верхние границы известны (и не превышают 6). По поводу последних результатов и обсуждений, а также для ссылок см. диссертацию Розена [14]. Кроме того, Фуджитана, Икеда и Матсумото [15] рассмотрели погружение обобщенных шварцшильдовских полей в E6 (р, q).
Чтобы определить, имеет место или нет равенство Nk = 0, достаточно проверить, равен риманов тензор кривизны тождественно нулю или нет (см., например, [16]).
Для случая определенных метрик Томас [17] и Розен-скон [18] дали алгебраический критерий, позволяющий установить, равен или не равен класс погружения 1. Пользование этим критерием, однако, сопряжено с довольно пространными выкладками (вычислением большого числа детерминантов). С минимальными изменениями их метод обобщается на случай неопределенных метрик. Таким образом, всегда есть надежный (хотя и утомительный) способ выяснить, имеет место равенство Nk = 1 или нет. Но в ряде случаев существуют некоторые крайне простые необходимые (или достаточные) условия, позволяющие сразу узнать это. Мы приведем результат Cxo-утена и Стройка [19], который может служить примером на подобные необходимые условия.
