Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Y*om = Yom. (8-206)
л>по * л,то
у*тп ^утп + СтУ_ + СпУ__ (8.20в;
Введем теперь следующие функции времени:
T^ds- (8-21) Тогда, в силу (8.1) и (8.56), имеем
P(Gft) = P(G) - [AkmCm + ^CftJl „о. (8.22)
taKHM образом, мы можем, вообще говоря, обратить
в нуль P(*g), не нарушая наших первоначальных условий. Чтобы сделать это, мы должны решить дифференциальное уравнение
PfG) = [A^Cm + Л?й]|00. (8.23)
В этом уравнении P\q) и A^1- известные функции времени. Зная их, мы находим Ck и с помощью последних производим преобразование координат (8.16). В новой системе координат со «звездочкой» мы имеем
P(C) = O1 P<g, = const. (8.24)
Следовательно, в такой системе координат сумма инер-циального и полевого импульсов остается постоянной!
Как нам представляется, против этого обоснования можно было бы выдвинуть только один аргумент, а именно: что произойдет, если A^n обратятся в нуль?
На этот вопрос легко дать ответ, если обобщить только что представленное доказательство.
В самом деле, введем вместо преобразования
x*k = хк + (8.25)
несколько более общее преобразование
х*к = х* + ак, (8.26)
15* 228
Jl. Инфельд
где ак имеют вид
як = Т + Й7Г+..., (8.27)
a bh, &з и т. д. в (8.27)— функции только t. Иными словами, мы полагаем, что ah суть величины порядка г"1 и не изменяют своего порядка при дифференцировании по времени, но понижают его при дифференцировании по пространственным координатам. Таким образом, мы имеем
Y*oo = Yoo_a-e + 0(_^ (8.28а)
Y*°w = Yom + «Го + aftY00+ О (Jr), (8.286)
Y*mn = утп _ ат ___ апт + gmn^ + ^no +
+ afOYwo + аГо^ГЬ +10 (7г) . (8.28В)
Так как вклад в Pfc) могут давать лишь произведения типа уа и аа, причем только в том случае, если они надлежащего порядка, то мы можем положить (чтобы найти P(G)), подобно тому как это было сделано в (8.20),
Y*00 = Y00, (8.29а)
Y*om = Yom> (8.296)
Y#mn = утп + ат уп0 + QnQ ут0 + ^m ^ (g 2дв)
Следовательно, в силу (7.26)
PM = PU-m ^ (ofoYm° + aroYfto + «|oaro),o"mdS. 2
(8.30)
Таким образом, можно обратить в нуль Р*в) любым преобразованием, удовлетворяющим условию
= Ш 5 (aI о Ymo + «Го Yfeo+ «і о «Го)і о ^mdS. (8.31) S
Даже если Ymo — величина порядка г"2, такие величины ак всегда будут существовать. В этом частном случае 6. Уравнения движения и гравитационное излучение
229
имеем
^> = ^№«10)1,«»^ (8.32)
S
Достаточно выбрать ah вида
= T + (8.33)
тогда мы получим следующее соотношение для ак и ?:
P(G) = J (a"? ),0-
Это преобразование оставляет координатные условия существенно инвариантными, как легко видеть из (8.28), так что мы имеем
тГа°а = 0(3). (8.34а)
Yfnn = O (-рг)- (8.346)
§ 9. Обобщение системы координат
До сих пор мы предполагали, что для метрического поля на бесконечности имеют место условия:
1) IVKl^
2) Yfa = o(-^), Yfif-0
(9.1)
(9.2)
3) Величины Aom при г —> оо можно разложить в степенной ряд по Xs/г, причем коэффициенты разложения являются функциями только времени.
При этих условиях мы доказали следующие положения.
A. P(G) постоянно; фактически, для доказательства этого положения нет необходимости требовать выполнения условия 1. Достаточно было бы предположить, что
IYomK ^^ 230_Jl. Инфельд
или даже
IvomK
если а > 0 при г—> оо.
Б. P^G) инвариантно относительно преобразований
= ха + аа, (9.3)
если при г —> оо мы пренебрегаем всеми произведениями уа и аа.
Мы будем называть
= Xa + аа
собственным преобразованием, если при г —> оо выполняются следующие условия: аа имеет порядок 1 /г, пространственное дифференцирование понижает порядок на единицу, в то время как дифференцирование по времени не изменяет порядка; или аа могут быть разложены в степенной ряд по xs/r с коэффициентами, зависящими только от времени. Кроме того, мы предполагаем, что для собственных преобразований величины
S*mO, a?
следует рассчитывать до порядка 1 /г3; это означает, что в случае необходимости, в преобразовании величин ya? должны быть учтены нелинейные члены. При таком определении собственного преобразования мы доказали:
В. P(G) и координатные условия (9.2) инвариантны относительно собственных пространственных преобразований, т. е. если
л:*0 = *0, (9.4а)
х*ь = хь + ак. (9.46)
Мы доказали также, что:
Г. Всегда можно выбрать ah в собственном преобразовании (9.4) таким образом, чтобы
Я(С) = 0. (9.5)
Возникает вопрос: что произойдет с P\g) и координатными условиями (9.2), если использовать не
Mom (0 6. Уравнения движения и гравитационное излучение
231
собственное преобразование (9.4), а полное собственное преобразование (9.3)? Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно рассмотреть только собственное преобразование времени, т. е.
л:*0 = л:0+ а0. (9.6)
Мы имеем
Y*oo s Yoo + ао0 + ао0 Yoo + (аоо)2 + О ( ^ ) , (9.7)
Y*om = Yow-^fm +О (-^г), (9.8)
Y*mn = Ymn + own«fo + o(-^) • (9.9)
Но линейные выражения не дают никакого вклада В P(0G). Нелинейные члены имеют порядок 1 /г2 и, будучи продифференцированы еще раз по пространственным координатам, не дадут вклада в поверхностный интеграл. Следовательно:
