Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Система, периодически зависящая от времени, согласно Эйнштейну [1] (см. также [2]) и Эддингтону [3], испускает гравитационное излучение, которое связано с потоком гравитационной энергии. Поэтому периодическое во времени стационарное гравитационное поле не может существовать, что находится в соответствии с результатом Папапетру [4].
В расчеты Эйнштейна входит псевдотензор $ плотности энергии-импульса гравитационного поля. Поэтому неочевидно, что поток энергии не может быть уничтожен преобразованием координат, и, в частности, что результат не зависит от использованных Эйнштейном координатных условий Гильберта. Напротив, высказывались различного рода сомнения по поводу физической реальности результатов Эйнштейна.
В настоящей работе показано, что при помощи теоремы Вейля [5] (см. также [6]) о полном энергии-импульсе явно ковариантным образом можно рассчитать гравитационное излучение системы, которая в течение некоторого конечного временного интервала периодически зависит от времени.
Теорема Вейля утверждает следующее. Пусть — плотность тензора материи некоторой изолированной материальной системы и tjj — псевдотензор ее гравитационного 7. Гравитационное излучение временно нестационарной сист. 237
поля. Для + $ имеет место эйнштейновский закон сохранения энергии-импульса:
S^v+Uv-O. (1)
Из (1) следует, что интегралы
сР»= \ (SU+ftW
n J
(2)
X=COIlSt
взятые по пространственно-подобной гиперплоскости X0 H= = cf = const, образуют, если они сходятся, 4-вектор. Для их сходимости необходимо, чтобы: а) пространство на гиперповерхности X0 = const на бесконечности достаточно быстро переходило в плоское пространство и б) система координат была выбрана на бесконечности так, чтобы gjnv асимптотически принимали постоянные значения.
В этом случае Pll является 4-вектором по отношению к произвольным преобразованиям координат в конечной области, для которых — вследствие условия «б» —
следует лишь потребовать, чтобы они на бесконечности переходили в общие преобразования Лоренца. Для этого 4-вектора из соотношения (1) следует интегральный закон сохранения:
t>0
t=0
t<0
Фиг. Т^Ф О только в заштрихованной области.
dPu. г, dt '
(3)
При этом Pi (/=1, 2, 3) —полный импульс и сР0=вЕ — полная энергия изолированной системы.
В специальной теории относительности (t^ = 0, Tilv) мы говорим о разбиении полной системы на изолированные подсистемы, если тензор Tliv отличен от нуля только внутри некоторых отделенных друг от друга (трубкообраз- 238_Л. Папапетру, Д. Гейслер и Г. Тредер
ных) областей четырехмерного пространства. Тогда из дифференциального закона сохранения (1)
можно вывести интегральный закон сохранения как для полной системы, так и для каждой отдельной подсистемы. В качестве примера рассмотрим случай, наглядно изображенный на фиг. 1: для /<0 имеется единственная, локализованная в некоторой конечной области система, которая в момент времени / = 0 расщепляется на две изолированные друг от друга системы. Интегральный закон сохранения дает для каждой отдельной подсистемы
\ T^odV = CP11 = 4-вектор=const, і
где Vn- область гиперплоскости л:0 = const, которую занимает п-я подсистема. Для полной системы равным образом имеет место
^ TllQdV = CP11 = 4-вектор = const,
xO=»cor.et
причем
(4)
п п
В общей теории относительности также можно говорить об изолированных подсистемах, если сумма + отлична от нуля только внутри отдельных разделенных друг от друга областей и вне этих областей стремится к нулю настолько быстро, что взятые по областям Fn1) гиперповерхности A^ = Const интегралы
[(n + tftdV = CP11 (5)
J п
Vn
сходятся. В таком случае теорема Вейля может быть при-
Строго говоря, в этом случае области Vn бесконечны; см, ниже обсуждение в связи с фиг. 3. 7. Гравитационное излучение временно нестационарной сист. 240
менена также и к каждой отдельной подсистеме, что дает
Далее, для каждого п четыре величины P^ являются
п
компонентами 4-вектора граничной метрики Минковского, которая теперь должна быть справедливой не только в бесконечности, но и в промежуточных областях. Интегралы Pil полной системы снова даются соотношением (4).
§ 2. Стационарное периодическая во времени система обладает, согласно Папапетру [4], расходящейся полной энергией. Следовательно, для применимости теоремы Вейля требуется, чтобы мы рассматривали систему, которая периодически зависит от времени только в течение некоторого конечного интервала времени. Примем следующее модельное представление системы такого рода.
Состояние А (реализуется в бесконечном интервале времени t < 0): материальная система состоит из некоторого аксиально-симметричного тела, вращающегося вокруг своей оси симметрии.
Состояние В (реализуется в конечном интервале времени 0</<71): благодаря внутренним силовым взаимодействиям тело распадается на две равные части, которые движутся по круговым траекториям вокруг их общего центра тяжести с постоянной угловой скоростью (0, причем скорость должна быть малой по сравнению со скоростью света. При таком круговом движении можно либо представлять себе, что угловая скорость и радиус круговой траектории обеих частей тела определены таким образом, что система удерживается своим собственным гравитационным полем, либо считать, что оба тела связаны какими-либо внутренними силами.
