Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
J б(х)IX|~рd(3)x = 0 при P= 1,2, ..., к. (2.7)
Q
Можно показать [6, 7], что модели б-функций, обладающие всеми четырьмя свойствами, действительно могут быть построены. С помощью таких функций мы избавляемся от бесконечностей при расчете уравнений движения и последовательно избегаем проблемы ренормировки. 208
Jl. Инфельд
Мы будем обозначать через
7(0)= \f(x)odl3>x (2.8)
Q
ту часть /(х), которая непрерывна в точке х = 0.
Сославшись на результат предыдущей работы, можно теперь перейти к формулировке уравнений движения. Уравнения поля для N частиц имеют вид
(^v+ 8*3^ = 0, (2.9а)
S^v= 2 AmA^AgvA6. (2.96)
A=I
Из тождества Бианки следует
^v = O, (2.10)
где точка с запятой означает ковариантное дифференцирование, т. е.
a^-sfv + l ^jiep- (2.11)
Но это уравнение имеет лишь символический смысл вследствие наличия б-функций в выражениях Можно избавиться от этих б-функций, произведя интегрирование по трехмерной области aQ, окружающей Л-ю сингулярность. Таким образом, имеем
nU'2:3;». <2-,2)
AQ
Это 4N обыкновенных дифференциальных уравнения, которые, по определению, будем называть уравнениями движения для N частиц.
Так как мы знаем, что S^v имеет форму (2.96), то можно переписать (2.12) в более явном виде. С этой целью подставим (2.96) в (2.11) и затем выполним инте-
х) Здесь используются единицы, в которых скорость света и гравитационная постоянная равны единице.—Прим. ред. 6. Уравнения движения и гравитационное излучение 209
грирование. Начнем с вычисления выражения
= ^ (*mA^A6), od(3)x+ \ {АтА^ AikAb)\kd(3)x. (2.13)
aQ aQ
Разумеется, никакого суммирования по Л в этих интегралах производить не нужно, так как интегралы типа
вб d(3)x обращаются в нуль, если А Ф В. Кроме того,
последний интеграл в правой части соотношения (2.13) равен нулю. В этом можно убедиться, преобразовав объемный интеграл в поверхностный, который должен обращаться в нуль, так как А6 обращается в нуль на поверхности области aQ. Следовательно, имеем
= (2.14)
Таким образом, вместо (2.12) мы можем написать
¦jf {Атa^) + ~{} ЛІаa^ Afn = ^1,2:2:.%. (2-15)
Здесь индекс Л слева от символа Кристоффеля, в соответствии с определением (2.8), подразумевает выполнение двух операций: во-первых, замену хк координатами Ik и, во-вторых, отбрасывание сингулярностей. Таким образом, мы получили 4N обыкновенных дифференциальных уравнения, которые определяют 4N неизвестных функций: Ат
и Aik. Так как |0 = 1, то последнее уравнение можно записать в виде
Т + ^ЧарИ0^==0' (2Л6а)
А (Ат Aih) + Ат ~{ар } АІа Al? = 0. (2.166)
14 Заказ № 738 210
Jl. Инфельд
Из первого из этих уравнений мы можем найти Ат: t А
л/я = л1*ехр-5~{ар} AiaAi*dt, > = const. (2.17)
Подставляя это выражение в (2.166), находим 3N уравнений для 3N неизвестных Alh. В такие уравнения A\i не входят. Это обстоятельство обычно рассматривают как проявление принципа «эквивалентности».
§ 3. Уравнения движения в форме объемных и поверхностных интегралов
Здесь мы дадим третью и последнюю формулировку уравнений движения.
Напомним, что первая формулировка основывалась на интегралах по двумерным поверхностям, окружающим одну сингулярность; а второе —на интегралах по некоторому объему, окружающему одну из сингулярностей. В формулировке, которую мы дадим в этом параграфе, будут фигурировать как поверхностный, так и объемный интегралы.
Снова будем исходить из уравнения
+ = (3.1)
где
Sliv = Sfftvp+ Aliv. (3.2)
Вследствие антисимметрии по индексам v? имеем
((^v + 8я?^)| V = (Aiiv + вяЖ^), V = 0. (3.3)
Здесь величины A^v, содержащие только нелинейные по „у" выражения, не являются, очевидно, компонентами тензора. Обычно, такое уравнение рассматривают как выражение закона сохранения, включая плотность псевдотензора энергии-импульса A^v гравитационного поля. Однако в данном случае пока пренебрежем возможностью такой интерпретации и используем наше последнее уравнение, чтобы с его помощью определить уравнения движения. Это можно сделать путем интегрирования его по aQ. Преобразуя объемный интеграл в поверхностный 6. Уравнения движения и гравитационное излучение 211
интеграл по aE , получаем
^ AanVzm dS = - A $ (А0« + 8я?0а) dwx. (3.4)
aS aQ
Итак, мы снова получили 4 N дифференциальных уравнения, которые мы определим как уравнения движения N частиц. В левой части этих уравнений тензор энергии-импульса не появляется, так как он обращается в нуль на поверхности aS.
§ 4. Следствия из различных форм уравнений движения
Мы представили уравнения движения в трех различных формах.
Во-первых, в (2)-форме, согласно (1.22), они имеют
вид
- 5 sr?°'v?/imds= $ Awv rim dS. (4.1)
Во-вторых, в (?2)-форме, согласно (2.12) и (2.15), они будут
$3$ <*„,* = о, (4.2а)
-Jf (Л/пА|°) + A/n?g} АІМІС=0. (4.26) ?-третьих, в (2й)-форме, согласно (3.4), имеем
J Aam nmdS = — ^ (A0a + 8я%0а) dmx. (4.3)
aS -aQ
Можно легко показать, что эти три формы эквивалентны, если удовлетворяются уравнения поля
