Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
8. T о 1 m a n R. C., Relativity, Thermodynamics and Cosmology,
Oxford, 1934, § 92.
9. JI а и д а у JI., JI и ф ш и ц E., Теория поля, M., 1948, § 101. 10. Фок В. A., Rev. Mod. Phys., 29, 325 (1957). 8. РАЗРЫВ ГРАВИТАЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ НА ФРОНТЕ ВОЛНЫ
Б. Финци
В. Finzi, Atti della Accad. Naz. Lincei, 6, 18—25 (1949)
Характеристические многообразия эйнштейновских гравитационных уравнений Леви-Чевита в 1930 г. получил прямым методом [1]. Каждое такое многообразие представляет собой трехмерную гиперповерхность в непрерывном римановом пространстве-времени. В трехмерном пространстве ему соответствует фронт волны, распространяющийся по нормали к фронту со скоростью света. Таким образом, подтверждается следующее положение, вытекающее из теории относительности: гравитационное «действие» распространяется со скоростью света [2].
Исследование ранга матрицы, соответствующей системе десяти линейных уравнений с десятью неизвестными, носит у Леви-Чевиты громоздкий характер. При этом указанная система в явном виде не разрешима. Причиной всего этого, возможно, служит ошибка в вычислениях1).
Важность проблемы побудила нас вновь предпринять исследование вопроса о характеристических многообразиях уравнений Эйнштейна. Предложенный здесь метод значительно упрощает решение этой задачи. Получена система линейных уравнений, определяющая условия, которым должны удовлетворять гравитационные разрывы на общей гиперповерхности пространства-времени; затем указанная система может быть решена точно с помощью удобной комбинации переменных. Анализ полученного решения приводит непосредственно к уравнению для
1J В формуле (15) работы Леви-Чевиты [1, 2] множителе {piPk — Hgik} должен быть заменен на \PiPk-2H gik}- 248
Б. Финци
характеристического многообразия гравитационных уравнений Эйнштейна. Из нашего рассмотрения естественно вытекает определение разрыва гравитационного поля на фронте волны.
1. Распространение гравитационного действия
Пусть X09 X1i X29 X3 — обобщенные координаты элементарного события, а с — скорость света в пустоте относительно наблюдателя, жестко связанного с фиксированной системой координат. Положим X0 = et и будем интерпретировать х° как временную, a X19 X29 х3 — как пространственные координаты. Пространство-время в гравитационных явлениях представляет собой непрерывное риманово четырехмерное пространство, определяемое следующей дифференциальной квадратичной формой, задающей метрику1):
ds2 = gpqdx*dx«. (1)
Систему координат всегда можно выбрать так, чтобы ds2 имела следующий вид:
з
ds2 = V2dt2 —dl2, где dl2= S aihdxxd?. (Г)
і,ft= і
Здесь V представляет собой скорость света, меняющуюся от точки к точке и от мгновения к мгновению, а dl2 > О — квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками трехмерного пространства.
Рассмотрим в пространстве-времени гиперповерхности I, задаваемые уравнениями
т (л:0, X19 X29 X3) = const, (2)
которые делят пространство на две области, различным образом искривленные материей и наличием энергии. Гиперповерхностям 2 в четырехмерном пространстве-времени соответствует в трехмерном пространстве с метрикой
1J В этой и последующих формулах по контравариантным (индекс сверху) и ковариантным (индекс снизу) индексам подразумевается суммирование от О до 3. 8. Разрыв гравитационного действия на фронте волны 21з§
3
dl2 = У] aik dx1 dxh движущаяся поверхность а, задавае-i, fe=l
мая уравнением (2) и делящая в каждый момент времени пространство на две области, различным образом возмущенные гравитационным полем.
Если бы система дифференциальных уравнений, описывающая гравитационные явления, была «нормальной», то произвольно выбранная гиперповерхность 2 была бы гиперповерхностью, на которой разрыв поля был бы невозможен: условия разрыва могли бы выполняться лишь на некоторых особых гиперповерхностях, являющихся характеристическими многообразиями. Но, как мы увидим ниже, система дифференциальных уравнений Эйнштейна не является нормальной и поэтому разрыв гравитационного поля допустим также и на произвольных гиперповерхностях четырехмерного пространства-времени. Но среди них имеются особые гиперповерхности, которые допускают по сравнению с другими более сильный разрыв. Они называются характеристическими многообразиями и соответствуют в трехмерном пространстве распространяющимся фронтам гравитационных волн.
Скорость и, с которой фронт гравитационной волны движется в направлении нормали, имеет, согласно уравнению для характеристического многообразия, следующий вид1):
дх
S ^fetliTlfe ife=i
2. Гравитационные разрывы
Гравитационные уравнения, устанавливающие связь между фундаментальным метрическим тензором gvq1 который фигурирует в (1), и тензором Tpqt определяющим распределение материи в пространстве и времени, имеет
1J В этой и последующих формулах индексы тензорных производных отделяются вертикальной черточкой. 250
Б. Финци
следующий вид (р,^ = 0,1,2,3):
0PQ- 2" 0Spq + XtPQz=0'
(4)
где % — универсальная гравитационная постоянная в теори Эйнштейна, Gpq — свернутый тензор Римана
