Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
большого значения времени t получается распределение плотности энергии t°, изображенное на фиг. 3. Полная энергиястационарного состояния С сосредоточена в основном внутри шара радиуса а. (Строго это имеет место для /—> + оо.) Плотность энергии t° зависящего от вре-
W
мени гравитационного поля сосредоточена внутри шарового слоя конечной толщины сТ, окружающего этот шар. Энергия во внешней области (г > Ь) для больших t мала и строго обращается в нуль при / —>+со2).
Так как на бесконечности мы имеем снова поле ^jav,
А
то, согласно теореме Вейля, можем интегрировать по всему пространству и вследствие (3) получаем
5 (Z00 +WdV= Ea. (9)
acO=const»c T
Здесь = Sq — плотность энергии стационарного распре-
C
деления материи в состоянии С. Но, с другой стороны, согласно фиг. 3, для достаточно больших моментов времени t плотность tj| сконцентрирована в двух отдельных областях, так что для (9) мы можем также написать
$(?°o + t°o )dV+\tldV = EA. (10)
С W
Здесь С означает соответствующую стационарному полю центральную область г < а и W — волновую область а<г<6. Следовательно, здесь имеет место случай, представленный схематически на фиг. 1, с той лишь разницей, что теперь одна область окружает другую.
Первый член в левой части равенства (10) представляет собой полную энергию Ec стационарного состояния С
Ec= \ (%°0 +QdVi (И)
с
Величина отлична от нуля только в малой центральной С
области.
С 1 1
2) А именно, из tjj — г"4 получается \ t%dV~ — ~ -у- .
r> Ct
16* 244_A. IJananempyt Д. Гейслер и Г. Треде/)
которую мы можем также, согласно теореме Толмена, представить в виде
с
Для вычисления последнего члена в (10) заметим, что при достаточно больших t полное поле в области W с необходимостью становится слабым. Поэтому достаточно произвести расчет в первом приближении. В этом приближении плотность энергии t° в области W дается форму-
W
лами Эйнштейна [1], Фока [10] и Ландау и Лифшица [9]:
KzV^ft)2+2D*°ih-md^d^ (:12>
где Hi = X1/г, k — ньютоновская гравитационная постоянная. Далее, так как гравитационное излучение происходит в течение некоторого конечного промежутка времени, то мы сделаем лишь ошибку второго порядка, если допустим, что в этот промежуток времени угловая скорость (о и величина (DikDlh)x^ момента инерции постоянны. Тогда из (10), проводя интегрирование во втором члене с учетом (12), получаем
Ea = Ec + *^ DihDik, (13)
где Ec дается формулой (И). Если мы положим
Ew = ^DihDik, (13а)
то баланс энергии имеет вид
Ea = Ec +Ew. (14)
Определяемая формулой (13а) энергия Ew, на которую энергия стационарного состояния А отличается от энергии стационарного состояния С, согласуется при этом со значением энергии излучения, которая получается для нашей системы в состоянии В по формулам Эйнштейна [1], Паули [2] и Ландау и Лифшица [9]. Согласно этим последним формулам, поток излучения J через некоторую замкнутую сферическую поверхность очень большого 7. Гравитационное излучение временно нестационарной сист. 245
радиуса, окружающую систему, равен
J = ^coeDiftDtft. (15)
При сделанном выше допущении о приближенном постоянстве (0 и (DikDlk)для энергии излучения, испущенного в течение времени Г, из формулы (15) получается выражение (13а). Если m = Eа/с2 — полная масса системы и і? —радиус круговой траектории, по которой движутся части тела в состоянии ?, то, согласно Ландау и Лиф-шицу,
DikDik = 36т2/?4.
Поэтому
= (16)
Эту энергию излучения Ew нельзя уничтожить никаким преобразованием координат, если не отказываться от необходимого, с физической точки зрения, требования, чтобы при этих преобразованиях как на бесконечности, так и в пространстве между центральной областью С и волновой зоной W величины gr^v при t —> + оо сохраняли форму метрического тензора Минковского. Тот факт, что энергию невозможно устранить путем преобразования координат, непосредственно следует из обобщенной теоремы Вейля (5): Ec и Ew являются нулевыми компонентами 4-векторов, пространственные компоненты которых, из соображений симметрии, равны нулю.
Отсюда мы должны заключить, что выведенное Эйнштейном гравитационное излучение временно нестационарной системы представляет реальный физический процесс, который связан с переносом энергии.
ЛИТЕРАТУРА
1.Einstein A., Berlin. Ber., 1918, 154.
2. P а и 1 і W., Relativitatstheorie, Enzykl. d. Math. Wiss., Bd. V,
2, 1921 (см. перевод: Паули В., Теория относительности, М.-Л., 1947).
3. E d d і n g t о n A. S., Relativitats theorie in mathematischer
Behandlung, Berlin, 1925 (см. перевод: Эдди нгтон A.C., Террия относительности, М.—JI., J934). 246 Л. Папапетру, Д. Гейслер и Г. Тредер
4. Papapetrou A., Ann. d. Phys., (6) 20, 399 (1957); (7)
1, 186 (1958).
5. Weyl H., Raum — Zeit — Materie, Berlin, 1923, § 37, 38.
6. E і n s t e і n A., Berlin. Ber., 1918, 448.
7. Lichnerowicz A., Theories Relativistes de Ia Gravita-
tion et de r?lectromagnetisme, Paris, 1955, гл. 2 и 3.
