Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
в работе Эйнштейна и автора [1] [стр. 231, формула (12.5)] вычислена масса tri(Gy 216
Jl. Инфельд
грировать не по окрестности А-й сингулярности, а по всему пространству, которое мы обозначим через ?2. Бесконечную сферическую поверхность, окружающую такое пространство, обозначим через 2. Внутри поверхности 2 находятся частицы, движущиеся согласно законам движения, которые выводятся из уравнений поля и сформулированы в первых трех параграфах. Предположим, что частицы никогда не достигают поверхности 2. Итак, интегрируя (6.1) по всему пространству, находим
J А»тптdS= - J (Л0^+ 8^^(3)*. (6.2)
2 Q
Левую часть этого уравнения
J A^nmdS (6.3)
будем рассматривать, по определению, как поток гравитационного излучения. Таким образом, уравнение (6.2), с помощью которого мы определили гравитационное излучение, тесно связано с уравнениями движения. Единственное различие между (6.2) и уравнениями движения заключается в области интегрирования: ShQ вместо А2 и aQ. Уравнение (6.2) представляет собой закон сохранения в (2?2)-форме, подобно тому как прежде с aS и aQ вместо 2 и Q оно представляло собой уравнение движения в (20)-форме.
Как прежде уравнения движения, так теперь законы сохранения могут быть записаны в (2)-форме:
J A^nm dS = - J SiS0' ^nm dS (6.4)
2 2
или, объединяя (6.2) и (6.4),
J A^nm dS = - ^ (А0*1 + 8Jti^) d{ зух = - jj ^? пт dS,
2 Q 2
(6.5)
или, как в § 4, имеем
^ (A^ + 8nS<*) d(3)X = 5 SJT **пт dS. (6.6)
0 2 6. Уравнения движения и гравитационное излучение 217
Наконец, мы можем также записать законы сохранения в (й)-форме
N
Q A=I Aq
N
= 2 (6-7)
A=I
Все эти уравнения являются следствием уравнений движения, которые в свою очередь вытекают из уравнений поля.
Мы знаем, что законы сохранения в (Е)-форме, т. е. (6.4), не зависят от формы поверхности постольку, поскольку эта поверхность не проходит через сингулярности. Поэтому мы можем построить двумерную поверхность 2, окружающую все сингулярности, в виде совокупности малых сфер, каждая из которых окружает одну из син-гулярностей и соединена с каждой другой сферой тонкими трубками. Но так как поток через эти тонкие трубки равен нулю, то (6.4) можно записать в виде
^ (Alim + S[?0, nmdS = 2 5 (A^ + S^-^dS = 0.
S A=I A2
(6.8)
Подобным образом, используя уравнения в (2?2)-форме, можно написать
2 5 A^rindS= - 2 5 + (6.9)
A=I A2 A=I Aq
Однако, вообще говоря,
2 5 A,xmnmdS Ф ^ AlimптdS. (6.10)
A=I As S
В качестве определения гравитационного излучения мы рассматриваем именно правую, а не левую часть этого 218
Jl. Инфельд
неравенства. Это определение не совпадает в точности с обычным, так как A^m содержит также производные второго порядка. Однако нам представляется более последовательным использовать для гравитационного излучения именно это определение, которое тесно связано с уравнениями движения.
Так же, как и прежде, определим полный инерциаль-ный импульс
N
Ptm = ^ d(3)X = 2 Лт 4*> (6.11)
Q A=I
полный импульс ПОЛЯ
pW = IJ \ л°а^>х <6Л2)
Q
и полный гравитационный импульс
P(0) = i\s^alinmdS. (6.13) ?
Как и раньше, (6.6) можно записать в форме
P(G)-P(IN) + P(F). (6.14)
Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, которая встречается почти на каждом шагу в электродинамике. Величины, относящиеся к мировой линии, такие, как Р(%), связаны с величинами, относящимися к полю, такими, как P(F) И Pfc,.
Поучительно сравнить представленную здесь ситуацию для гравитационного поля с ситуацией в случае электромагнитного поля в специальной теории относительности, где мы имеем тензор энергии-имульса Ea^ электромагнитного поля и закон сохранения ZJjjf = O. Интегрируя последнее уравнение по всему пространству, находим
^EamnmdS = - [Еа0с1(3)х. (6.15)
? Q
Правая часть этого равенства трактуется обычно как (взятая со знаком минус) процзводная по времени пол- 6. Уравнения движения и гравитационное излучение 219
ного импульса поля. Для электромагнитного поля это единственный импульс, который фигурирует в законе сохранения. В случае, когда левая часть, представляющая поток электромагнитного излучения, обращается в нуль, мы заключаем, что импульс поля является постоянным вектором.
В случае гравитационного поля ситуация иная. Поток гравитационного излучения равен (взятой со знаком минус) производной по времени от суммы двух импульсов: импульса гравитационного поля и импульса инертной материи. В том случае, когда поток гравитационного излучения равен нулю, остается постоянной именно сумма двух импульсов. Эту сумму мы называем гравитационным импульсом, и она равна поверхностному интегралу от выражения, представляющего собой линейную комбинацию производных величин Y^av.
Чтобы проиллюстрировать различие между этими тремя полными импульсами, обратимся снова к примеру, рассмотренному в конце предыдущего параграфа, а именно к задаче о двух частицах и их полных массах, вычисленных в ньютоновском и постньютоновском приближениях. Как и прежде, в ньютоновском приближении имеем
