Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
При надлежащем разложении последнее выражение дает вклады порядка 2s+ 2 и 2s+ 4. Предположим, что мы решили уравнения движения порядка 2г:
зл° (0Е + 2? + ... 2г_4?) + И0 (оБ + ... 2г-60 +
+ •••аг-ИЧоБ) = 0» (10 15)
(oS + • • • 2Г-4&) + (oS + • . • 2r-eS) +
+ ...2глга(„б)=0.
Это предполагает, что мы решили уравнения поля для т, п — с учетом членов порядка 2r_4^wn, для 0, т —с учетом членов порядка 2г_3/*от> для 0, 0 — с учетом членов порядка 2г_2Л00. 192
Jl. Инфельд
Теперь мы хотим решить уравнение движения порядка 2г + 2:
3Л° (06 + ... 2г_2Е) + ... 2Г+1Л° (об) = Of
Аргументы в 3Л6, ..., 2r_H°, 4Лт, ..., 2гЛт в уравнениях (10.16) иные, чем в (10.15). Следовательно, они дают вклады порядка 2г+1 и 2г + 2. Однако, чтобы найти 2г+2Лт(0|), необходимо знать
h h h 2r-2nmm 2r-l'4)m» 2rn 00*
Следовательно, мы должны решить уравнения 2Rmn (()?+••• 2Г-Л) + • • • 2r-2Rmn> (об) =
3R0m (об + . . . 2г-4б) + • • • 2r-lR0m (об) = ( Ю. 17)
= aQ°m(o6+.--.r-46)+...«r-iQ°m(o6),
2R00 (об + • • • 2г-2б) + • • • 2rR00 Ш =
= 2Q00(ol+-- .2r-26)+...2l.Q00 (об).
Всюду в этих уравнениях, за исключением 2R00 и 2Q00, мы подставляем выражения, соответствующие уже известному движению. Однако 2R00 = 2Q00 для произвольного движения. Поэтому последнее уравнение (10.17) можно заменить следующим уравнением:
4R00 (<)?+••• 2г-Л) + • • • 2rR00 (оБ)=
В 2r_2Rmn(oI) впервые появляется выражение 2г_2Лтп; в 2r_iR°m — выражение 2г-1 Zz0w и, наконец, в 2rR00 —выражение 2?Л00. Собирая в этих уравнениях все вклады наивысшего порядка и приравнивая их нулю, мы можем найти 2г_2Лтп, 2г_Дт, 2A0; уравнение для 2Д0 является в точности уравнением Пуассона!
Возвращаясь к уравнению (5.8), мы видим, что если 2r-iKm и 2г тп являются решением уравнений (10.17), то
2r_1^0m = 2r-1^0m+ 2r-la0, m' (10 18)
2r^mn = 2r^mn 2>?m, n ~f~ 2ran, m
также будут решением. 5. Уравнения движения в общей теории относительности 193
Пусть, например, г = 2; в этом случае
3^0т = zKm + Зао, m> 4^mn = 4^mn + 4Ят> п + 4ЯП> т.
Выбор этих функций всегда может быть осуществлен преобразованием координат от координатной системы, в которой все коэффициенты а равны нулю. Тогда в уравнениях движения восьмого порядка появятся производные этих функций. Вообще говоря, их можно выбрать таким образом, чтобы уничтожить члены восьмого порядка в уравнениях движения. Однако трудно решить вопрос, имеет ли такая система координат какой-либо физический смысл. Во всяком случае, вплоть до постньютоновского приближения выбор системы координат не играет никакой роли, пока мы придерживаемся нашей процедуры приближений, для которой определено ее начало, а именно, сделан выбор 2Л00 и 2hmn.
Приложение А1)
Чтобы отличать нашу б-функцию от б-функции JXupamy будем обозначать здесь первую через S1. Наша задача — дать «реалистическую» модель, показывающую, как надо построить такую последовательность S1(E), чтобы S1 = = IimS1(e) и чтобы для каждого е:
E-* 0
^MeK31X=I, $ S1(E)T-Pdf31X = O (р= 1,2,...,?). (А. 1)
схэ
Такая модель может быть получена из некоторой модели 6(e) обычной б-функции Дирака, удовлетворяющей следующим условиям:
6 (є) = 6 (є, г) = е-»д(?), (А.2)
где Д (г/е) такова, что всегда существует интеграл
OO
=^A(Z)Z-*+* dz (р= 1, 2, ..., k) (А.З) о
1J Настоящее Приложение представляет собой сокращенное и измененное изложение двух наших работ, написанных совместно с Плебанским [13].
13 Заказ № 738 194
Jl. Инфельд
и
оо
D(0) б (є) d(3) х = Z2A (z) dz = 1. (А.4) J о
Если б (є) не обладает этим свойством, то это может быть достигнуто умножением ее на (г/г)к и ренормировкой1). С помощью подобных б-функций можно построить модель нашей бд-функции следующим образом:
Мы должны показать, что такой выбор S1 удовлетворяет (АЛ). Для этого начнем с первого соотношения (АЛ):
OO
5 ol 4з> JC = ^ ( А (2) Z* dz = D<°> = 1. (А.6)
О
Что же касается второго соотношения (АЛ), то мы имеем
5 V<*«. * = ? (ІУ *h-p 5 А (г) г"dz =
для любого целого ру если 1
Таким образом, функции бх, определяемые формулой (А.5), удовлетворяют соотношениям (АЛ).
г) Например, возьмем
б (є) = (2лр3/2е-8ехр ^ — г2є-2^ ,
т. е.
Такое A (z) может быть преобразовано к виду
д (г) = г*(2я)-і2-<м-8/*> [г (ф)]"1 exp j*2) • 5. Уравнения движения в общей теории относительности 196
Эту процедуру можно легко обобщить. Введем модифицированные дираковские функции б2, исходя из условий
5 v~*4s>* = w(p) (p= !> 2> •••> (а.8)
где со — произвольно заданные числа. Реалистической o2(e), удовлетворяющей условию (А.8) в пределе при 8 —> О, является следующая функция:
W-i (0 [>4-0] . (А.9)
s=0
Мы находим
^ S2 (є) г'р с113У X =
s=0 0
= J. (0»->Гіїй=1) (А.10)
s=0
Это выражение отлично от нуля и конечно при є—>0, если только s = & — р. Тогда
и при є —> 0 мы приходим к (А.8).
Использование дираковских б-функций требует задания определенных значений функций о)(Р). Функция, используемая в настоящей работе, наиболее удобна для наших целей; для нее o)(P) = 0 при р=1, 2, ..., k.
