Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
S^0b + A00 = O, (8.6а)
Sla?'fe? + Aoft = 0, (8.66)
или вследствие (8.5) в нашей системе координат при г —> оо просто имеем
TYfs08=-A*0, (8.7а)
Iyi0* = _Л°\ (8.76)
Остановимся пока на втором из этих уравнений. Как мы знаем, Aoft представляет собой сумму произведений величин Y^av и их производных. Величины Y^av имеют порядок 1 /г, в таком случае производные будут порядка 1 /г или более высокого порядка по 1/л Следовательно, Aoft должны быть по крайней мере второго порядка по 1/л Поэтому, казалось бы, Aom могут дать вклад в поверхностный интеграл (8.2) при а = 0, и тем самым P(G) в этой координатной системе может зависеть от времени. Однако это не так.
Разложим в степенной ряд по х*/г те существенные выражения в Aom, которые могут дать вклад в поверх- 224
Jl. Инфельд
ностный интеграл (8.2), предполагая, конечно, что такое разложение возможно. Тогда имеем
пот a°amys n°™ySrP = , (8.8)
где коэффициенты а°т и т. д. являются функциями лишь времени. Так как, с другой стороны, левая часть (8.76) представляет собой чистый лапласиан, то у°т должны иметь вид
Yom = Aom In r + A0sm -у- + • • • , (8.9)
где Am и т. д. —такие функции времени, которые удовлетворяют уравнениям (8.76). Но это противоречит нашему допущению, что уот, как и все другие y^v» принимают на бесконечности галилеевы значения. Следовательно, Aom не могут содержать выражений порядка г"2; они могут содержать выражения, начиная по крайней
мере с члена порядка г"3; поэтому P(°G) должно быть равным нулю, и, следовательно, Pfc> — постоянная величина!
Этот результат самым определенным образом связан с выбором нашей системы координат. Этот выбор обусловливает появление в левой части (8.76) лапласиана вместо даламбертиана. Действительно, в случае даламбертиана в Yom могли бы входить выражения порядка а/г и а/г2, совместимые с Aom порядка г"2.
Если Aom являются величинами порядка г"3 при г—> оо и если мы снова разложим их в степенные ряды по xs/r, то выражения у°т, в соответствии с (8.76), могут быть записаны в форме
Y»m = ^ + .crv + .... (8Л0)
Здесь коэффициенты Com и т. д. снова являются функциями лишь времени. Тогда, в силу координатного условия (8.4а), у00 можно записать в форме
Q0 __ 4M Шах* Шаъхахь _
Y г г2 г3 * * *
-С°т(т)|т-С'т(^)1>п-..., (8.11) 6. Уравнения движения и гравитационное излучение
225
где М, Ma, Mab и т. д.—постоянные. Действительно, легко видеть, что это есть наиболее общее решение для y00j удовлетворяющее уравнениям поля и координатным условиям, а также условиям для у00 на бесконечности.
Обращаясь к определению P°G) как интеграла от линейных по у выражений, мы видим, что
S
= -4=[yZoimdS = 0, (8.12)
так как единственные существенные в этом интеграле выражения порядка —2 по г имеют в качестве коэффициентов постоянные Mj Ma, Mab и т. д. Если
Мф 0 и Ma = Mab... =0, (8.13)
то, вычисляя поверхностный интеграл, находим
= (8Л4)
Следовательно, если имеет место (8.13), то у00 принимает вид
у00 = ^ + Члены более высокого порядка по у-, (8.15)
где M-полная гравитационная масса, которая в нашей системе координат, определяемой условиями (8.4) и (8.3), должна быть постоянной.
Обратимся теперь к P\g)- Мы покажем, что можно еще более специализировать нашу систему координат на бесконечности таким образом, чтобы эти величины также были постоянными. При этом мы имеем в виду, что преобразование координат, которое мы теперь произведем, не должно изменить существенных особенностей предыдущей системы координат. Под этим мы подразумеваем, что y*^v будут исчезать на бесконечности как 1 /г и что
¦ Ott SfC"VY).Vl UU
Y| а и Yln будут стремиться к нулю по крайней мере как 1/г3.
15 Заказ № 7 38 226
Jl. Инфельд
Произведем преобразование координат:
= + , (8.16)
где Ck- функции только t. Выпишем в преобразовании Y^v все члены, линейные и нелинейные, до порядка 1 /г3. Из (7.3) и (8.16) находим
Y*oo e Y00 - Cs (I)i , + O(^)e (8.17а)
Y*om A Yom + Qm ± + У^ + q ^ ? (g j щ
Vno • V7n0 1 /IN
+ Ст^ + СпУ— + С™Сп±+о(±). (8.17В)
Так как в (8.176) выражение у00/г по крайней мере порядка 1/Л мы видим, что при г—> оо
Yfo00 + YiT = o(^), (8.18)
и аналогично
уГГ = 0(І), (8.19)
поскольку Ywo — величины порядка 1 /г, а их производные по пространственным координатам порядка 1 /г2. Мы знаем, что линейные члены в (8.17) не дают вклада в P\qу Это было подробно показано в предыдущем параграфе. Кроме того, члены порядка 1 /г3 не оказывают какого-либо влияния на поверхностный интеграл. Наконец, так как в (8.56) у*°к дифференцируются по пространственным координатам, то в y*°h достаточно учесть только выражения порядка 1 /г. Мы видим также, что
в (8.17в) выражение CmCnZr2 не может дать какого-либо вклада в поверхностный интеграл, поскольку оно умножается на nm=-xm/r, и поверхностный интеграл обращается в нуль в силу асимметрии. Поэтому для нахож- 6. Уравнения движения и гравитационное излучение 227
дєния P(G) мы можем положить
Y*00 = Y00. (8.20а)
