Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
P(IN) = P(G) = const, P°(F) = 0. (6.16)
2 2 2
Затем, в постньютоновском приближении:
P^1 = Полная кинетическая энергия — 2 (Потенциальная энер-
4
гия),
P^ = Полная кинетическая энергия + Потенциальная энергия = = const.
P^py = 3 (Потенциальная энергия).
4
Из выражения для Pj* мы видим, что в этом прибли-
4
жении поверхностный интеграл от «нормальной компоненты вектора Пойнтинга» для гравитационного излучения в рассматриваемом случае обращается в нуль. Это имеет место в силу того, что
РЇО+P(О - 5 dS = 0; (6.17) 220
Jl. Инфельд
иными словами, вследствие ньютоновских уравнений движения сумма кинетической и потенциальной энергии является постоянной величиной.
§ 7. Об инвариантных свойствах Pfc)
Возникает вопрос о трансформационных свойствах величин Pfc) при малых преобразованиях типа
х** = х* + а*(х). (7.1)
Будем всюду пренебрегать произведениями величин „а", так же как и произведениями величин „у" и „а". Напомним, что в соответствии с (4.15) и (4.16)
= S^-VdS = -^ ^ [-^ + y^]nmdS, (7.2а)
s ?
ph^ «И n^ds= ?
5 P11Xa-"У™ "VI?!nmdS. (7.26)
16 Jt
?
Начнем с исследования изменений в Pfc) при преобразовании (7.1). Для этого мы должны использовать формулу
0.,v = 9aWdet^-. (7.3)
В это соотношение мы должны подставить
<сГ = б? + аГ«. (7.4а)
detC^F =1-?. (7-46)
Из трех последних уравнений следует (поскольку g^v = Tjtlv + Ytlv):
Y*00 = Y00+ °|о-a|S' (7-5а)
Y*0m = Y0m_a0n + am (7.5б)
у*тп = у01" ^a-- а-т + 6mX + ьтпа*г (7.5в) 6. Уравнения движения и гравитационное излучение 221
Подставляя эти выражения в (4.15) и (4.16), находим
= + (7.6а)
S IfT0' ft? = S|?°' fe? + («Vm - o™4)ls + («кЧ - om4)is-
(7.66)
Выражения в скобках в правой части (7.6) антисимметричны по индексам т, s; следовательно, в силу леммы, доказанной в § 1, имеем
J S*m0, *nmdS = J Sw0' v?nmdS, (7.7)
I г
ИЛИ
D*a __ Da
Jj(G)-^(G),
откуда видно, что компоненты гравитационного импульса инвариантны при малых преобразованиях системы координат. Это не имело бы места, если бы учитывались произведения величин у и а. Это видно непосредственно в том частном случае, когда гравитационный поток обращается в нуль. В этом случае A0a и %0а при преобразованиях Лоренца ведут себя как компоненты тензора и, следовательно, Я(Ь) — как постоянный вектор. Таким образом, величины Pf(G) не инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца.
§ 8. Гравитационное излучение и выбор системы координат
Теперь мы подходим к основному вопросу нашей работы: можно ли найти такую разумную систему координат, в которой гравитационное излучение отсутствует? Иными словами, представляет ли собой гравитационное излучение, как оно здесь определено, нечто такое, что может быть устранено подходящим выбором системы координат, или же это есть нечто, имеющее абсолютное значение? Это значит: можем ли мы найти систему координат, в которой
P(G) = 0 и P(G) = const, т. е. в которой выполняется закон сохранения суммы двух импульсов — инерциального и полевого? 222
Jl. Инфельд
Прежде чем ответить на этот вопрос, напомним еще раз определение Оно дается формулой (6.13):
(8.1)
Но вследствие (6.9) можно также написать:
Ph = ^\AamnmdS. (8.2)
І
Следовательно, мы можем рассчитать изменение в импульсах двумя путями: во-первых, через линейные по у выражения, т. е. с помощью (8.1), и, во-вторых, через нелинейные по Y выражения, т. е. с помощью (8.2).
Перейдем теперь к вопросу о выборе системы координат. Все наши допущения будут касаться только поведения системы координат и величин у при г —> OO, где г — «расстояние» от некоторой фиксированной точки, т. е. г2 = XkXk1 при очень больших значениях г. Допустим, что при г—> оо наша метрика стремится к галилеевым значениям по крайней мере как 1 /г, т. е.
|Ya?[< 1^(01 . (8.3)
Кроме того, примем следующие координатные условия при г—> оо:
YlaO = 0(i). (8-4а)
YjT = O (і)- (8.46)
Нам хотелось бы обратить внимание на условие (8.46), которое отличается от условия де-Дондера YjSa =1 ^ столь широко используемого Фоком. Если в настоящей работе и достигнут какой-либо прогресс, то он в значительной степени обязан выбору координатного условия (8.46), которое основывается на идеях, лежащих в основе «нового приближенного метода», а именно, что пространство и время должны рассматриваться различным образом; это различие проявляется в выборе координатных условий. В самом деле, именно это координатное условие 6. Уравнения движения и гравитационное излучение ЛЪ
было выбрано в наших ранних статьях с Эйнштейном [4, 1]. Основное различие между этой работой и работой других авторов, среди которых следует выделить работу Траут-мана [8], также состоит в том, что в настоящей работе использовано иное координатное условие.
Теперь, при этом особом координатном условии, величины S[?0,v? принимают очень простой вид:
SlT0p=-TY^ (8-5а)
Sl?°,ft?= (8.56)
как это следует из (7.2). Уравнения поля в этой системе координат также принимают более простую форму. В данный момент нас интересует только их (0, 0)- и (0, ^-компоненты и только при г —> оо, когда тензор энергии-импульса равен нулю:
