Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
f$(---)fce = BfcerStf-(1.18)
или, в явном виде,
S(...)23=^...)s 5<...)31=9t(...)( (1Л9)
Тогда интеграл (1.15) можно записать в форме
^ Sis • • )ksnk dS = 5 efcsr9tr,snk dS =^ rotЯя dS. (1.20) 2 2 2
Этот интеграл может быть преобразован, согласно теореме Стокса, в линейный интеграл по контуру, ограничивающему поверхность. Но, как мы условились, поверхность замкнутая. Следовательно, длина ее контура равна нулю. Таким образом, лемма доказана.
Вернемся к уравнениям поля. Перепишем соотношения (1.12а), полагая m = jlx,
®mv = S^ v? + v? + Amv. (1.21)6. Уравнения движения и гравитационное излучение 205
Рассмотрим произвольную двумерную замкнутую поверхность, окружающую А-ю сингулярность. Обозначим такую поверхность через Так как тензор Эйнштейна вне сингулярности равен нулю, то, используя нашу лемму, имеем
5 SIT v? пт dS + \ А" пт dS = 0, ; : ®' 21; (1.22)
Эти AN уравнений справедливы1J (опять-таки в силу нашей леммы) для произвольных поверхностей, каждая из которых заключает в себе только одну сингулярность. Вследствие произвольности формы поверхности, эти уравнения не могут дать каких-либо соотношений между пространственными координатами поля. Они могут дать нам только соотношения между координатами сингуляр-ностей и их производными по времени. Поэтому они по определению являются уравнениями движения для N частиц. В одной из наших предыдущих работ [4] показано, как получить из них ньютоновские и постньютоновские уравнения движения. Это было сделано с помощью «нового» приближенного метода, который, однако, мы будем мало использовать в этой статье.
Во всяком случае, как мы уже сказали, будем рассматривать (1.22) по определению как точные уравнения движения для N частиц.
§ 2. Уравнения движения в форме объемных интегралов
В этом параграфе мы сформулируем уравнения движения в иной форме. Сущность предыдущей формулировки состояла в том, что некоторый интеграл по произвольной двумерной поверхности aS, окружающей сингулярность, обращался в нуль. Основной чертой новой формулировки будет обращение в нуль некоторого интеграла по объему, взятого по произвольной окрестности Д-й сингулярности.
Как известно, уравнения гравитационного поля с источниками, представленными непрерывным распреде-
Уравнения, подобные этим, были сформулированы Голдбер-гом [3].206
Jl. Инфельд
лением плотности тензора энергии-импульса, имеют вид
= (2.1)
Вид S^v обычно предполагается заданным; он зависит от плотности масс, от векторного поля скоростей и, например, от электромагнитного и мезонного полей. В предыдущем параграфе в качестве источников поля мы рассматривали сингулярности. Известно, что сингулярности не описывают должным образом реальность. Возникает вопрос: каков смысл использования сингулярностей в качестве математической модели частиц?
Чтобы ответить на этот вопрос, представим себе, что мы имеем два тела, расстояние между которыми велико по сравнению с размерами этих тел. Предположим также, что вблизи каждого из этих тел в надлежащим образом выбранной системе координат имеет место центральная симметрия. Пусть, далее, нас интересуют такие вопросы, ответ на которые не требует знания распределения плотности внутри поверхности, окружающей какое-либо одно из этих тел. В этом случае можно с уверенностью использовать математическую модель сингулярностей как источников поля, так как истинное распределение материи нам не известно и вообще нас не интересует.
Если мы хотим рассматривать уравнения поля не только вне сингулярностей, как в § 1, а всюду, то мы должны взять в виде суммы выражений, пропорциональных б-функциям Дирака. Обозначим,
а8 = 5(з) {хк - Alk) = б<3) (X - А1). (2.2)
Тогда для N частиц принимаем
N
f=2VvA« (2.3)
A=I
где iViv, казалось бы, являются произвольными функциями времени. Однако это не так. Здесь мы ссылаемся на результат, полученный Тульчиевым [5]: вид можно вывести из условия самосогласованности уравнений поля.6. Уравнения движения и гравитационное излучение 207
При этом должны иметь вид
Vv=AmA|,A|v (2.4)
Коэффициент Ат, который является функцией времени, мы будем называть инертной массой Л-й частицы. Трансформационные свойства ik очевидны; для б(з) они вытекают из инвариантного соотношения
$o(3)d(3)*=l; (2.5)
Q
для Ат эти свойства следуют из трех последних уравнений, если вспомнить, что является тензорной плотностью.
Скажем еще несколько слов о б-функциях, которые мы предполагаем использовать. Обычные трехмерные o-функции Дирака обладают следующими свойствами:
1) Формально их можно рассматривать как сферически-симметричные функции, для которых существуют все производные.
2) б (х) = 0 при X ф 0.
3) Для любой /(х), непрерывной в произвольной области ?2, расположенной в окрестности х = 0, имеем
\ f(x)6dmx = f{0). (2.6)
Q
Используемые нами б-функции обладают одним добавочным свойством. Они допускают, чтобы /(х) в (2.6) была сингулярной, и они «обрезают» сингулярности /(х) в х = 0. Иначе говоря,
4) б-функции удовлетворяют условию