Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
гравитационный импульс не является вектором; хотя его компоненты инвариантны по отношению к малым преобразованиям координат, однако они изменяются при произвольных преобразованиях. Поэтому возникает такой вопрос: существуют ли разумные системы координат, в которых полный гравитационный импульс постоянен, т. е. такие, в которых гравитационное излучение отсутствует? Ответ состоит в том, что такие системы координат существуют; иначе говоря, гравитационное излучение может быть порождено или уничтожено надлежащим выбором системы координат.
§ 1. Уравнения движения в форме поверхностного интеграла
В этом параграфе мы напомним, как уравнения движения были сформулированы Эйнштейном и автором [1] в 1949 г. Хотя в настоящей статье формализм значительно упрощен по сравнению с только что упомянутой статьей, основная идея остается той же.
Мы предполагаем, что источниками поля являются сингулярности, движение которых описывается уравнениями поля. Обозначим через
ilEfc (0, 2, 3, Л=1, 2, N
мировую линию Л-й сингулярности (латинские индексы пробегают значения от 1 до 3, греческие — от 0 до 3; по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Предположим, что эти мировые линии заключены в тонкие трубки, которые никогда не пересекаются, и будем рассматривать (в этом параграфе) поле лишь вне этих трубок. В этом случае уравнения поля в обычных обозначениях имеют вид
= Stiv = v~g (^v - YSliv = (1Л)
Теперь мы используем известную формулу [2]:
V~—g Stiv= - ^Gwv = Y К - ё) - gvg*)) la? + A'ttv-
(1.2) 202
Jl. Инфельд
(Здесь и в дальнейшем вертикальная черточка означает обычное дифференцирование.)
Выражение A^v является довольно сложным, но в данный момент его явный вид нас мало интересует. Достаточно помнить, что A^v содержит лишь выражения, нелинейные относительно первых производных компонент метрического тензора.
Назовем систему координат галилеевой в точке P1 если в этой точке метрический тензор имеет значения метрики Минковского и его первые производные обращаются в нуль, т. е. если в точке P
g«? = Tjtf, Tl00=I, T^=-Sfe', Tlom = O, gj*? = 0. (1.3)
Из сказанного относительно A^v следует, что в такой галилеевой системе координат все A^v и их первые производные обращаются в нуль в точке Р. Очевидно, A^v не является тензором. Положим теперь
Siav = V~g g^v = rf * + Ynv (1.4)
и не будем считать Y^v малыми. Их можно рассматривать как основные выражения, характеризующие метрическое поле, из которых могут быть получены все другие; так, например,
g=|ga?l = |ga?|_1 = ha? + Yap 1"?1, (1.5)
откуда следует, что
g = I T^v + Y^av I (1.6)
и, следовательно,
Y — g = 1 + у Tia? Ya? + нелинейные выражения. (1.7) Если мы запишем
ga?==T,a? + /ta?) (1.8)
то из соотношений (1.4) и (1.7) следует, что
/ia? = Y°? —LYj^ayoa rja? -f- нелинейные выражения, (1.9) 6. Уравнения движения и гравитационное излучение 203
И если
ga? = %?+/*a?> (1.10)
то найдем, что
Лар=—Л°ат]оат]^+ нелинейные выражения. (1.11)
Вернемся к формуле (1.2). Выделим в ней те выражения, которые не обращаются в нуль в галилеевой системе, т. е. те, которые линейны относительно вторых производных величин Y^av. С этой целью запишем (1.2) в виде
= S^+ A^. (1.12а)
дії av? = ^ix?^va YvaT]^? — yvfiyfv — Y^vT]a?]. (1.126)
Все другие, нелинейные выражения объединены теперь в A^v. Таким образом, A^v тоже содержат вторые производные величин н0 только в виде произведений с другими Y^av- Следовательно, величины A^v обладают тем же свойством, какими раньше обладали A^v: они вместе со своими производными обращаются в нуль в системе координат, галилеевой в точке Р.
Исследуем теперь свойства симметрии выражения Sil av?. Последнее антисимметрично по индексам |ш и v?. Оно симметрично относительно одновременной замены (і на V и а на ?. Наконец, S^vap удовлетворяет соотношению
Sli av? + ^v? a + Jji? av = q (1.13)
Таким образом, мы видим, что
gli av? = giia, v? (1.14)
обладает всеми свойствами симметрии тензора Римана.
Докажем теперь лемму, которой мы будем пользоваться в дальнейшем.
Лемма. Пусть имеется некоторая функция антисимметричная по индексам k, s и обладающая также другими произвольными греческими или латинскими 204
Jl. Инфельд
индексами, которые изображены точками в скобках. Тогда ^,^4^=0, (1.15)
S
если S — произвольная замкнутая двумерная поверхность, не проходящая через сингулярности поля. Под nk понимаем
azfe = cos (A n), ( 1.16)
т. е., компоненты «единичного вектора нормали» к поверхности 2. Слова «нормаль» и «единичный» употреблены здесь лишь в условном смысле, чтобы указать на соответствующие функции координат, которые подразумеваются под этими терминами в эвклидовой геометрии.
Доказательство этой леммы довольно просто. Прежде всего видно, что интеграл (1.15) определенно не зависит от формы поверхности, пока не изменяется число сингу-лярностей, охватываемых этой поверхностью. Это утверждение вытекает из того факта, что
g|sr)fes= 0 (1.17) и из теоремы Грина. Запишем теперь
